Warum zwei verschiedene Formeln?
Warum gibt es zwei verschiedene Formeln? Die obere zeigt doch im Prinzip den kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten an, die auf jeweils einer Geraden liegen (Eine Beispielrechnung hatte den Namen Abstand Gerade-Gerade).
Die untere ist für den kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten, wobei ein Punkt auf einer Geraden liegt. Also berechnet man den kürzesten Abstand zwischen Punkt und Geraden.
Das ist doch aber letzten Endes das gleiche oder nicht? Warum sind sie dann unterschiedlich? Also im vorderen Teil ähneln sie sich aber im hinteren halt nicht mehr. Wo ist da der Unterschied?
Bitte helft mir! Meine Mitstudierenden waren nicht bei der Vorlesungen und wissen dementsprechend auch nicht wovon ich rede und allgemein, ist denen auch alles egal. Aber ich muss und will das verstehen
2 Antworten
In der Formel oben links wird die Projektion x(a) eines Vektors x auf einen Vektor a beschrieben.
In der Formel oben rechts wird die Formel oben links mit der Identität |x|/|x| multipliziert und |a|² durch |a|*|a| ersetzt. Ist also identisch.
Mithilfe dieser Formel wird unten bewiesen, dass
(x - x(a))*a = 0 gilt, d.h. (x - x(a)) und a senkrecht stehen.
Aber ich muss und will das verstehen.
Das ehrt Dich und so wirst Du es weit bringen.
zeigt doch im Prinzip den kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten an, die auf jeweils einer Geraden liegen
Nein, damit hat das überhaupt nichts zu tun. Hier geht es um das Thema Projektion. Siehe Bild.
Es soll nur der Vektor x_a bestimmt werden und zwar so, dass er genau so lang ist wie der "Schatten" des Vektors x auf den Vektor a. Und er soll auch noch in die gleiche Richtung zeigen wie der Vektor a.
Das Skalarprodukt allein tut uns diesen Gefallen nicht. Das Skalarprodukt
enthält zwar die Faktoren Betrag(x) * cos (alpha) und stellt damit schon die Länge bzw. den Betrag des Vektors zur Verfügung. Aber das reine Skalarprodukt ist wie man sieht um den Faktor (Betrag[a]) zu lang und wird darum um genau diesen Faktor gekürzt. Der Ausdruck
entspricht dann immerhin schon der Länge des Vektors x_a. Es ist aber nur eine Zahl, ein Skalar. Gefordert ist aber ein Vektor, der in die gleich Richtung wie der Vektor a zeigt. Darum wird dieser Ausdruck wieder mit dem Vektor a multipliziert und gleichzeitig wieder durch den Betrag von a geteilt. Auf diese Weise erschaffen wir uns einen so genannten Einheitsvektor in Richtung a.
Die andere Formel führt zum gleichen Ergebnis. Sie ist nur anders motiviert. Ausgehend von der Definition des Skalarproduktes beschreibt man mit dem Ausdruck
zunächst nur den cos(α), der sodann mit der Länge vom Vektor x multipliziert wird. Auf diese Weise ist auch bereits die Länge der Projetion als Zahl bestimmt. Dem ganzen wird noch die richtige Richtung aufgedrückt in dem ich mit dem Einheitsvektor in a-Richtung multipliziere
So kommt man zu
