Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen?
Aufgabenstellung: (gegeben: 1 Geradengleichung in Parameterform und eine Ebenengleichung in Koordinatenform und ein Punkt P, der auf der Geraden liegt) Es gibt einen weiteren Punkt auf der Geraden g, der denselben Abstand von E hat wie der Punkt P. Berechnen Sie seine Koordinaten.
Wie gehe ich da vor?
1 Antwort
1. **Berechne den Normalenvektor der Ebene:**
- Wenn die Ebene durch eine Gleichung in der Form Ax + By + Cz + D = 0 gegeben ist, nimm den Normalenvektor N = (A, B, C).
2. **Berechne den Richtungsvektor der Geraden:**
- Die Gerade ist bereits in Parameterform gegeben, also nimm den Richtungsvektor d der Geraden.
3. **Berechne den Vektor von Punkt P zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden:**
- Da P auf der Geraden liegt, nimm den Vektor von einem Punkt auf der Geraden (z.B. r = r0 + td) zu P. Dieser Vektor ist P - r0.
4. **Projiziere den Vektor P - r0 auf den Normalenvektor der Ebene:**
- Verwende die Projektionsformel: Proj_PN = (P - r0) · N / |N|, wobei · das Skalarprodukt und |N| die Länge des Normalenvektors ist.
5. **Berechne den Abstand d zwischen Punkt P und der Ebene:**
- Der Abstand d zwischen Punkt P und der Ebene ist gleich der Länge der projizierten Strecke: d = |Proj_PN|.
6. **Berechne den zweiten Punkt auf der Geraden:**
- Da der Abstand von diesem Punkt zur Ebene gleich dem Abstand von P ist, berechne den zweiten Punkt auf der Geraden als Punkt r1 = P + 2 * Proj_PN * (Einheitsvektor in Richtung d).