Warum reicht es die erste Ableitung zu bilden um den Hochpunkt zu finden?
Wenn man z.B. eine Funktion dritten Grades gegeben hat und diese sich schlangenförmig auf und ab bewegt, warum bildet man dann die erste Ableitung? Ich meine die Steigung ist doch gar nicht an allen Stellen gleich, also kann die erste Ableitung doch gar nicht einen Wert, der für alle Punkte gilt liefern.
3 Antworten
Die erste Ableitung beschreibt die Steigung.
Setzt man die erste Ableitung gleich Null, erhält man die x-Werte, an denen f(x) eine Steigung von Null hat, also die Tangente an dieser Stelle parallel zur x-Achse verläuft, also ein Extrempunkt (oder Sattelpunkt) existiert.
also kann die erste Ableitung doch gar nicht einen Wert, der für alle Punkte gilt liefern.
Behauptet ja auch keiner, dass sie das tut.
Du suchst jene Stellen, an denen die Ableitung gleich Null ist. Das ist eine notwendige (aber keine hinreichende) Bedingung für einen Hochpunkt.
Die erste Ableitung alleine reicht auch nicht. Damit findest du die Stellen (x-Werte) an denen die Extrema sind. Mit der zweiten Ableitung musst du prüfen ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist.
...oder ein Sattelpunkt, da reicht auch die zweite Ableitung nicht zur Entscheidung.