Warum ist der zweite Lösungsweg falsch?

Ich vertausche in der binomischen Formel a und b in der zweiten Wurzel, warum ist das falsch?

Answer 1

[nobytree2]

$\sqrt{\left(1-\sqrt{5}\right)^2}=\sqrt{5}-1\ne1-\sqrt{5}$

Das verwundert jetzt etwas? Es gilt jedoch

$\left(1-\sqrt{5}\right)^2=\left(\sqrt{5}-1\right)^2\ und\ \sqrt{5}>1$

Da

$\forall x:\ \sqrt{x}\ge0$

ergibt

$\sqrt{\left(a-b\right)^2}=a-b,\ wenn\ a\ge b\ und\ \sqrt{\left(a-b\right)^2}=b-a,\ wenn\ b\ge a$

Wichtig noch:

$\sqrt{\left(a-b\right)^2}\ne\left(\sqrt{a-b}\right)^2$ $Sei\ a\ =\ 0,\ b=1:\ \sqrt{\left(0-1\right)^2}=\sqrt{1}=1$ $\left(\sqrt{0-1}\right)^2=\left(\sqrt{-1}\right)^2=i^2=-1,\ wenn\ wir\ in\ \mathbb{C}\ \sin d$

Answer 2

[Clemens1973]

Das Problem ist, dass 

$\sqrt{\left(1-\sqrt{5}\right)^2}\neq 1-\sqrt{5}$

Der Ausdruck links ist positiv, der Ausdruck rechts wäre negativ.

Allgemein gilt

$\sqrt{x^2}=|x|$

für eine beliebige reelle Zahl x.

Answer 3

[Rammstein53]

Es gilt

$6\ -\ 2\sqrt{5\ }=\ \left(\sqrt{5}-1\right)^2$

oder

$6\ -\ 2\sqrt{5}\ =\ \left(1-\sqrt{5}\right)^2$

Daraus folgt jedoch nicht

$\sqrt{6\ -\ 2\sqrt{5}}=\ 1-\sqrt{5}$

Denn 1 - √5 ist negativ, kann also kein Funktionswert der reellen Wurzelfunktion sein.