Warum darf man LGS so lösen?
Welcher mathematische Zusammenhang besteht denn bei LGS, dass man bspw. diese untereinander multiplizieren etc. kann? Ich meine, ja, das eine ist die Ableitung und das andere nur die Ableitung der Ableitung... bei dem Dreisatz ist es bspw. die Proportionalität und AntiProportionalität. Was ist es hier?
Was meinst du jetzt mit Ableitung? Meinst du die Rechnung erfolgt von einer vorhergehenden, oder meinst du den mathematischen Begriff der Ableitung eine Funktion?
"Wenn man bspw. verschiedene Eigenschaften einer Funktion hat, stellt man ein LGS auf bspw. ( f(2)= 4, f"(8)= 0, ...) , um so an a,b,c,d zu gelangen.
7 Antworten
Die Antwort braucht etwas mehr Verständnis von linearer Algebra als nur lineare Gleichungssysteme.
Im Grunde ist es so, dass alle Operationen die man mit den Zeilen ausführen kann als Matrizen darstellen kann. Ein lineares Gleichungssystem ist von der form Ax=b, wobei A die Matrix der Linearfaktoren ist, x der Vektor der Variablen (die gesucht werden) und b der Konstantenvektor.
Ebenfalls sind diese Operationen alle invertierbar, d.h. man könnte sie alle rückwärts in verkehrter Reihenfolge anwenden und würde wieder auf das originale LGS kommen.
Wenn man alle Operationen kennt, die ein lineares Gleichungssystem auf Dreiecksform bringen, kann man diese mit einer einzigen Matrix darstellen, welche ebenfalls invertierbar ist. Diese Matrix bezeichnen wir mit O und multiplizieren sie mit dem Gleichungssystem:
OAx = Ob
Jetzt kann man verstehen, warum dadurch die Lösungen nicht verändert wurden. O ist invertierbar, und kann daher auch wieder entfernt werden. Der Sinn von O ist also nur A in eine Form zu bringen, von der man die Lösungen ablesen kann.
Wenn du noch nicht überzeugt bist, kann man das ganze auch Formal beweisen:
Sagen wir, P ist die Lösungsmenge für Ax = b (d.h. Ap = b ist wahr für alle p in P) und Q die Lösungsmenge für OAx = Ob. Ich zeige nun, dass P = Q.
Sei p' in P eine Lösung. Ap' = b => CAp' = Cb => P ist Teilmenge von Q.
Sei q' in Q eine Lösung. CAq' = Cb => C^-1 CAq' = C^1 Cb => Aq' = Cb => Q ist Teilmenge von P.
Damit ist der Beweis vollendet.
Wie kommst Du von LGS auf Ableitungen und Ableitungen von Ableitungen?
Wann bzw. warum man zwei Gleichungen miteinander multipliziert, um ein LGS zu lösen, wüsste ich jetzt auch nicht, aber möglich wäre das; setze in die Gleichungen statt der Terme die Lösungen ein, dann hast Du z. B.:
(I) 12=12 und (II) 4=4
Dann ergibt sich aus (I)*(II) auch eine wahre Aussage: 48=48...
Das sind ja keine verschiedenen Funktionen, die man miteinander "verknüpft", sondern es geht um diverse Eigenschaften einer einzigen Funktion, die in wahren Aussagen (Gleichungen) ausgedrückt werden. Und die Koeffizienten haben in allen Gleichungen dieses LGS denselben Wert, egal ob es sich bei den Gleichungen z. B. um die Eigenschaften einer ersten oder zweiten Ableitung handelt, oder um irgendwelche gegebenen Punkte, die als Gleichung dargestellt werden.
Bei LGS ist vollkommen egal, was dahintersteckt. Die Gleichungen eines LGS bilden quasi eine Einheit; beziehen sich auf einen Kontext. Die Umformungen sind einfach mathematisch logische Umformungen, da ist vollkommen egal, was dahintersteht, ob es z. B. um Steigungen oder spezielle Punkte geht.
Wie auch in meiner Antwort schon mit konkreten Zahlen verdeutlicht:
wenn 4=4 ist, dann kann man die komplette Gleichung auch mit -1 multiplizieren und erhält wieder was gleiches: -4=-4. Ebenso, wenn man zwei Gleichungen miteinander addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert, da man ja immer auf beiden Seiten jeweils mit denselben Werten "hantiert".
Wie kommst Du von LGS auf Ableitungen und Ableitungen von Ableitungen?
Das war doch nur ein Beispiel, es ging um die Frage des dahinterliegenden Prinzip. Gleichungen lassen sich beispielsweise nach jeglicher variable umformen weil das Prinzip der gleichbleibenden Relationen zwischen den Termen eingehalten wird. Eigentlich eher Themengebiet der für den Zweig reine Mathematik / Zahlentheorie / Arithmetische Funktionen
Zum Beispiel bei einem Optimierungsproblem mit einer nebenbedingung. Da kann es vorkommen das man ein LGS aufstellen muss, um die Lösung zu finden.
"Welcher mathematische Zusammenhang besteht denn bei LGS..."
Das ist natürlich wieder blöd hier zu erklären...
Der mathematische Zusammenhang bei LGS ist immer eine Äquivalenzumformung.
Du gibst doch unterschiedliche Bedingungen durch Gleichungen zur Bestimmung deiner Variablen ( a,b,c...), wie z.B. bei hermetisches Splines vor, oder findest diese Zusammenhänge bei z.B. wirtschaftlichen oder physikalischen Gegebenheiten. Du stellst also diverse Gleichungen auf, die die Variablen a, b, c... in beliebiger Kombination beinhalten. Das sind deine Bestimmungsgleichungen für die zu findenden Werte der Variablen a, b, c...
Diese Bestimmungsgleichungen mit den vorgegebenen Variablen darfst beliebig durch Äquivalenzumformen umformen, so dass die Aussage der Gleichung(en) erhalten bleibt(en).
Dadurch kannst du eben z.B. auch hermitisches Splines, wo die Werte von Ableitungen an den Stützpunkten vorgegeben sind, bestimmen.
Ich hoffe ich habe dich richtig verstanden und du meine Erklärung auch.
Nachtrag: oder willst du nur die Äquivalenzumformung und Umformungen von linearen Gleichungssystem in Matrixen verstehen:
Ich will verstehen wieso man f(x) bspw. mit der Ableitung addieren kann, um dann an x1 bspw. zu gelangen. Wieso kann ich ein Gleichungssystem mit den Ableitungen einer Funktion erstellen und für x1,x2 etc. eine Lösung finden, wenn doch die Formeln untereinander nicht Proportional bzw. antiproportional wie bspw. bei 4=4 oder 4= 1/4 sind?
Konntest du den Link hermetisches Splines genauer anschauen? Denn dort werden Polynomstücke dritten Grades, mit der gleiche Tangenten an den Stützpunkten ist gleich erste Ableitung an der Stelle, entwickelt.
Die Bestimmung der Koeffizienten ist linear UND es wird nicht die Funktion, die "beliebig" nicht linear sein kann, oder deren Parameter betrachtet.
Zu meinem Verständnis, gebe halt mal bitte diese Funktion(en) mit Ableitung(en) an, die du als Gleichung(en)hast, damit wir das zusammen durchgehen können.
dass man bspw. diese untereinander multiplizieren etc. kann?
die Gleichungen mit einander malnehmen ? Never ever
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Ableitung und LGS haben nix miteinander zu tun
Ich meinte eher, dass man bspw. I mit -1 multipliziett und dann I-II macht. Hab mich wohl unklar aisgedrückt.
Wenn man bspw. verschiedene Eigenschaften einer Funktion hat, stellt man ein LGS auf bspw. ( f(2)= 4, f"(8)= 0, ...) , um so an a,b,c,d ( bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hier) zu gelangen. Wieso kann man denn zwischen diesen Funktionen Rechnungen ausführen. Liebt es daran, dass der Koeffizient (a,b,c) immer irgendwie da ist?
Wenn man bspw. verschiedene Eigenschaften einer Funktion hat, stellt man ein LGS auf bspw. ( f(2)= 4, f"(8)= 0, ...) , um so an a,b,c,d ( bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hier) zu gelangen. Wieso kann man denn zwischen diesen Funktionen Rechnungen ausführen. Liebt es daran, dass der Koeffizient (a,b,c) immer irgendwie da ist?
Ich meinte eigentlich, dass man bspw. zeile eins mit -7 multipliziett und eben dann mit der zweiten addiert, hab mich unklar ausgedrückt.