Die Antwort braucht etwas mehr Verständnis von linearer Algebra als nur lineare Gleichungssysteme.

Im Grunde ist es so, dass alle Operationen die man mit den Zeilen ausführen kann als Matrizen darstellen kann. Ein lineares Gleichungssystem ist von der form Ax=b, wobei A die Matrix der Linearfaktoren ist, x der Vektor der Variablen (die gesucht werden) und b der Konstantenvektor.

Ebenfalls sind diese Operationen alle invertierbar, d.h. man könnte sie alle rückwärts in verkehrter Reihenfolge anwenden und würde wieder auf das originale LGS kommen.

Wenn man alle Operationen kennt, die ein lineares Gleichungssystem auf Dreiecksform bringen, kann man diese mit einer einzigen Matrix darstellen, welche ebenfalls invertierbar ist. Diese Matrix bezeichnen wir mit O und multiplizieren sie mit dem Gleichungssystem:

OAx = Ob

Jetzt kann man verstehen, warum dadurch die Lösungen nicht verändert wurden. O ist invertierbar, und kann daher auch wieder entfernt werden. Der Sinn von O ist also nur A in eine Form zu bringen, von der man die Lösungen ablesen kann.

Wenn du noch nicht überzeugt bist, kann man das ganze auch Formal beweisen:

Sagen wir, P ist die Lösungsmenge für Ax = b (d.h. Ap = b ist wahr für alle p in P) und Q die Lösungsmenge für OAx = Ob. Ich zeige nun, dass P = Q.

Sei p' in P eine Lösung. Ap' = b => CAp' = Cb => P ist Teilmenge von Q.

Sei q' in Q eine Lösung. CAq' = Cb => C^-1 CAq' = C^1 Cb => Aq' = Cb => Q ist Teilmenge von P.

Damit ist der Beweis vollendet.