Schwieriges Integral?

Wie könnte man hiervon die Stammfunktion finden?
Antworten wären super :)

Answer 1

[mihisu]

Im Allgemeinen (für beliebige natürliche Zahlen n) ist das gar nicht so einfach.

Mit Hilfe der sogenannten hypergeometrischen Funktion...

https://de.wikipedia.org/wiki/Gaußsche_hypergeometrische_Funktion

... kann man zeigen, dass gilt:

$\int \frac{1}{x^n+1}\,\text{d}x=x\,{}_{2}F_{1}(1, \frac{1}{n}; 1+\frac{1}{n}; -x^n)+\text{const.}$

============

Ansonsten könnte man für gewisse Spezialfälle zeigen...

Für n = 0:

$\int\frac{1}{2}\,\text{d}x=\frac{1}{2} x+\text{const.}$

Für n = 1:

$\int\frac{1}{x+1}\,\text{d}x=\ln(\left\lvert x+1\right\rvert)+\text{const.}$

Für n = 2:

$\int\frac{1}{x^2+1}\,\text{d}x=\arctan(x)+\text{const.}$

Für n = 3:

$\int\frac{1}{x^3+1}\,\text{d}x=\frac{1}{6}\cdot\ln\left(\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2-x+1}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+\text{const.}$

Wie du anhand dieser Spezialfälle vielleicht erkennen kannst, wird das insbesondere für größere Zahlen n nicht gerade „schön“. Und für verschiedene Zahlen n sind evtl. unterschiedliche Ansätze besser geeignet als andere.

Comments

[rixtwix007]

Vielen Dank, sehr gut Antwort :)

Für GF naht so eine Frage natürlich schon an die Grenze. Ich werde einfach mal auf math stack exchange fragen

[LORDderANALYSE]

Anmerkung: Das mit der hypergeometrischen Funktion gilt nicht für alle n, z.B. für alle n = 0 und alle 1+1/n die nichtpositive ganze Zahlen sind.

Answer 2

[LORDderANALYSE]

Allgemein

Es gilt:

Das ist eine Wunderbar einfache Reihentwicklung die wir gut integrieren können oder wir nutzen gleich die Integral-Formeln.

Alternativ könnte man auch die Ln-Reihen integrieren, doch viel spaß dabei die allgemein zu bestimmten:

=======================

Was ich nutze

Doch man könnte wie ein normaler Mensch ran gehen mit Laurent-Reihen:

aka

und das integrieren davon ist jetzt wirklich schwer. Man muss nur drei Fälle beachten:

n=0, [Z\{0}]n=-1 und [Z\{0}]n∉{0, -1}

=======================

Fall n = 0:

int 1/(1+x^{n}) dx = int 1/2 dx = x/2 + Konstante

Fall [Z\{0}]n=-1:

Hier wäre es das einfachste die Reihe zu lassen.

Fall [Z\{0}]n∉{0, -1}:

Die Reihe wäre hier auch am einfachsten, doch alternativ ginge hier auch eine hypergeometrische Funktion, welche wir aber wiederum in zwei fälle aufteilen müssten (n als negative ganze Zahl die nicht 0 ist und alles andere außer 0 und -1) und das ist den Aufwand nicht Wert, wenn die Reihentwicklung schon schnell genug konvergiert und die HF es nur schöner schreibt aber nichts anderes ändert.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium

Answer 3

[evtldocha]

Da findest Du nicht die eine Stammfunktion F(n,x). Für n=1 kommt da ein Logarithmus raus, für n=2 ein arctan, für n=3,4,5,... je eine wilde Summe aus beiden.