Satz des Pythagoras?
Guten tag,
ich verstehe die Aufgabe nicht bzw wie man sie ausrechnet kann jemand mir helfen , ich sitze schon stunden dran.
3 Antworten
Für gleichseitige Dreiecke gilt für den Flächeninhalt
A = 1/2 * a * h
Der Unterschied zu allgmeinen Dreiecken ist, dass h überall gleich ist, man also nicht h_a schreiben muss, um klar zu machen, dass es die senkrechte Höhe bzgl. der Seite a ist.
Für h gilt mit dem Satz des Pythagoras
h² = a² – (a/2)²
h² = 3/4 * a²
h = √(3)/2 * a
und damit für den Flächeninhalt mit h eingesetzt
A = 1/2 * a * √(3)/2 * a
A = √(3)/4 * a²
Nun ist A = 5 cm² gegeben. Wie können also nach a umformen und kommen auf
5 cm² = √(3)/4 * a²
√( 20/√(3) cm² ) = a
a ≈ 3,4 cm
Setzen wir das oben in die Formel für h ein, erhalten wir
h = √(3)/2 * (3,4 cm)
h ≈ 2,94 cm
Wir können überprüfen:
1/2 * 3,4 cm * 2,94 cm = 4,998 cm² ≈ 5 cm²
Weggesehen von Rundungsfehlern passt es also. Die Lösung ist a ≈ 3,4 cm und h ≈ 2,94 cm.
Also: Ein gleichseitiges Dreieck hat 3 Winkel zu je 60°. Also kannst Du nicht direkt den Pythagoras anwenden. Sei s die Länge jeder Seite.
Wenn Du die Höhe einzeichnest, teilst Du das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
Die Länge der Hypotenuse eines dieser rw Dreiecke ist offensichtlich s, die eine Kathete hat nun die Länge s/2 und Du kannst nun mit dem Pythagoras die Länge der eingezeichneten Höhe (der zweiten Kathete) in Abhängigkeit von s ausrechnen.
Du bekommst nun also eine Formel für die Höhe, in der s vorkommt und die Länge der Grundlinie ist ebenfalls s. Die Formel für die Fläche des Dreiecks ist
F = 1/2 * g * h
Da die Grundlinie die Länge s hat, ergibt sich also
F = 1/2 * s * h
Und für h hast Du ja nun Deine Formel in Abhängigkeit von s. Jetzt löst Du das Ganze nach s auf und berechnest mit dem Wert von s nun die Länge der Höhe basierend auf Deiner oben bestimmten Formel.
Vielleicht hilft es, wenn du ein Quadrat zeichnest. Das müsste dann 10cm^2 Inhalt haben.