Relation Aufgabe wieso transitiv?
Wieso ist die d) transitiv? Wenn m=-2,n= 3 dann ist es doch eine negative Zahl die nicht in N beinhaltet ist
4 Antworten
Wieder:
Das Tupel (-2,3) liegt nicht in R, da -2*3 negativ ist, und somit nicht in N ist. Somit ist dein Beispiel für die Transitivität vollkommen irrelevant.
Transitivität bedeutet, dass wenn (m,n) in R ist, und (n,p) in R ist, dass dann (m,p) auch in R ist.
Das ist hier der Fall.
Wenn man es umformuliert, wird es einleuchtend: (m,n) in R bedeutet, dass m und n das gleiche Vorzeichen haben; also beide positiv, oder beide negativ. Wenn man nun die zwei Paare (m,n) und (n,q) in R hat, dann hat m dasselbe Vorzeichen wie n und n dasselbe wie q. Dann haben auch m und q dasselbe Vorzeichen, also ist (m,q) in R.
Für einen Beweis muss man das "Umformulieren" wohl etwas ausführen - das kommt darauf an, was man voraussetzten kann.
Ähnlich wie vorhin bei deiner Symmetriefrage...
(-2, 3) ist nicht in der Relation enthalten. Na und? Warum würde das deiner Ansicht nach der Transitivität widersprechend. Das würde doch nur der Transitivität widersprechen, wenn es ein b gäbe, sodass (-2, b) und (b, 3) beide in R enthalten wären. Solche eine Zahl b gibt es jedoch nicht. Also... Kein Widerspruch zur Transitivität.
======Beweis der Transitivität======
M = ℤ∖{0}; R = {(m, n) ∈ M² | m ⋅ n ∈ ℕ}
Seien a, b, c ∈ M mit (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ R.
Dann ist a ⋅ b ∈ ℕ und b ⋅ c ∈ ℕ.
Unterscheide nun für a ∈ M = ℤ∖{0} die folgenden zwei Fälle...
1. Fall: a > 0
Wegen a ⋅ b ∈ ℕ ist dann auch b > 0. Wegen b ⋅ c ∈ ℕ ist dann auch c > 0. Damit ist dann...
Da außerdem a und c als Elemente von M = ℤ∖{0} insbesondere ganze Zahlen sind, ist auch a ⋅ c eine ganze Zahl. Damit ist dann a ⋅ c eine positive ganze Zahl. Daher folgt a ⋅ c ∈ ℕ und damit (a, c) ∈ R.
2. Fall: a < 0
Wegen a ⋅ b ∈ ℕ ist dann auch b < 0. Wegen b ⋅ c ∈ ℕ ist dann auch c < 0. Damit ist dann...
Da außerdem a und c als Elemente von M = ℤ∖{0} insbesondere ganze Zahlen sind, ist auch a ⋅ c eine ganze Zahl. Damit ist dann a ⋅ c eine positive ganze Zahl. Daher folgt a ⋅ c ∈ ℕ und damit (a, c) ∈ R.
Da also in jedem der Fälle (a, c) ∈ R folgt, wurde damit die Transitivität von R gezeigt.
Nein. Die Relation bei c) ist nicht transitiv.
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Bei c) erhält man beispielsweise den folgenden Widerspruch zur Transitivität...
(1, 0) und (0, -1) sind in der Relation enthalten. (1, -1) ist jedoch nicht in der Relation enthalten.
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Versucht man den gleichen Beweis, den ich für d) aufgeschrieben habe auf c) zu übertragen, so scheitert man daran, dass man beispielsweise im Fall a ≥ 0 nicht c ≥ 0 folgern kann. Wenn nämlich b = 0 ist, kann man aus b ⋅ c ≥ 0 nicht c ≥ 0 folgern, sondern es könnte auch c < 0 sein.
Ja, das Paar (-3, 2) ist nicht in der Relation enthalten.
Aber das sagt ja nichts über die Transitivität aus. Transitiv bedeutet:
(m,n) in R, (n,o) in R => (m,o) in R.
Und das gilt hier.
Wann ist denn ein Paar (m,n) in R? Genau dann, wenn beide Zahlen dasselbe Vorzeichen haben (denn genau dann ist das Produkt positiv). Wenn nun m und n dasselbe Vorzeichen haben, und n und o auch dasselbe Vorzeichen haben, dann haben auch m und o dasselbe Vorzeichen.
Also ist die Relation transitiv.
Ist die c) dann auch transitiv