Problem mit einfacher Kombinatorik Aufgabe?
Hallo zusammen, mir liegt folgende Aufgabe vor welche eigentlich ziemlich einfach erscheint:
Sie haben 9 verschiedene Farben (inkl. rot, blau und grün) und 7 Felder. Auf wie viele Arten können Sie die Felder färben, wenn 3 Felder rot, 2 Felder blau und der Rest grün sein soll?
Die Lösung müsste 210 sein, aber ich komme mit keinem meiner Ansätze auf diese Lösung. Kann mir jemand erklären wie man auf die Lösung kommt? Ich verzweifel leider gerade.
LG und danke im voraus!
2 Antworten
Mit Multinomialkoeffizienten: https://de.wikipedia.org/wiki/Multinomialkoeffizient#Objekte_in_Kisten
Allerdings entsprechen die Kisten dort den Farben hier und die Objekte dort den Feldern hier. (Man kann ja eine Kiste für jede Farbe nehmen und für jedes Feld einen Zettel, auf dem die Nummer des Feldes steht, und diese Zettel in die Kisten verteilen. Dann gibt es eine 1:1-Zuordnung zwischen den Lösungen der Aufgabe und den Lösungen mit Kisten und Zetteln.)
-----
Wie kommt man darauf?
Zunächst einmal spielen hier nur die Farben rot, blau und grün eine Rolle - für andere Farben bleibt ja kein Feld mehr übrig.
Wir haben etwa 3 rote, 2 blaue und 2 grüne Kugeln, die wir verteilen müssen.
Wenn wir die Kugeln unterscheidbar machen (z. B. nummerieren oder Buchstaben draufschreiben), können wir alle Anordnungen der Kugeln unterscheiden. Da es 7 Kugeln sind, sind das
7! = 5040
verschiedene Anordnungen.
Da wir aber Kugeln derselben Farbe nicht unterscheiden können oder wollen, müssen wir alle verschiedenen Reihenfolgen dieser Kugeln herausziehen.
Unabhängig davon, wie die blauen und grünen Kugeln angeordnet sind, haben wir
3! = 6
verschiedene Anordnungen der grünen Kugeln. Wir müssen also die ursprüngliche Anzahl von Reihenfolgen durch diese Zahl teilen.
Ebenso für die blauen und grünen Kugeln, wo wir jeweils 2! Möglichkeiten haben, ebenfalls für jede Anordnung der andersfarbigen Kugeln.
Insgesamt bleiben also
7! / ( 3! * 2! * 2!)
unterscheidbare Anordnungen. Dieser Ausdruck ist gerade der zugehörige Multinomialkoeffizient.
Mit Binomialkoeffizienten,
(7 über 3) (4 über 2)
n über k ist die Anzahl, wenn k Elemente auf n Plätzen angeordnet werden, wobei die Reihenfolge dieser Elemente keine Rolle spielt.
Um aus 7 Elementen 3 auszuwählen, gibt es Binomial(7, 3) Möglichkeiten.
Um aus den verbleibenden 7 - 3 Elementen 2 auszuwählen, gibt es Binomial(4, 2) Möglichkeiten.
Um auch die verbleibenden Kugeln auf diese Weise zu behandeln:
Um aus den verbleibenden 7 - 3 - 2 Elementen 2 auszuwählen, gibt es Binomial(2, 2) Möglichkeiten. (Natürlich könnte man wie eterneladam auch sagen, dass die restlichen Elemente sowieso dieselbe Farbe haben und es deshalb nur eine einzige unterscheidbare Möglichkeit gibt.)
Man wählt erst 3 aus möglichen 7 Feldern für rot, dann noch 2 aus 4 möglichen Feldern für blau, der Rest ist dann grün.
Super vielen Dank! Aber ich verstehe jetzt ehrlich gesagt nicht so ganz wieso. Kannst du mir das bitte noch erklären?