Statistik (Kombinatorik)?
Folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:
Bei einem Turnier werden zur Verringerung der Anzahl Spiele die 2 · n Mannschaften
(n ∈ N) in zwei gleich grosse Gruppen eingeteilt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass die beiden spielstärksten Mannschaften
a) in verschiedenen Gruppen oder
b) in der gleichen Gruppe sind.
Die Lösung lautet für a z.B. (n*(n-1)/2^n)
Mir ist klar, dass die Gesamtanzahl eine Mannschaft einer Gruppezuzuordnen 2^n ist, da jedes Team entweder in Gruppe 1 oder Gruppe 2 kann. (2 * 2 * ...)
Mir sind aber die günstigen Möglichkeiten für die zwei stärksten Teams nicht klar.
Wieso hat die eine Mannschaft n Möglichkeiten? Wiederrum dass die zweite Mannschaft davon -1 Möglichkeiten hat mach für die Aufgabe a) durchaus sinn, da die beiden nicht in eine Gruppe dürfen.
Ich danke für eine Rückmeldung und wünsche einen schönen Abend.
3 Antworten
es gibt also eine gerade Anzahl (2·n) von Mannschaften.... super... :)
wir ziehen also n-mal ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge aus der Urne mit (2·n) Kugeln von den zwei „opak“ (die Besten) und (2·n-2) „nicht opak“ sind...
jetzt brauchst du nur noch in deinem Lehrbuch die Formel zu suchen und die WK für zwei mal opak in n Zügen rauszusuchen...
bin zu faul, das zu vereinfachen... deine Lösung sieht anders aus...
WA sagt, dass es das da ist:
wenigstens ist es zwischen 0 und 1... lol
oh.... das war die Lösung für (b)... oder?
für (a) ist es wohl das Gegenereignis...?
Mir ist klar, dass die Gesamtanzahl eine Mannschaft einer Gruppezuzuordnen 2^n ist, da jedes Team entweder in Gruppe 1 oder Gruppe 2 kann. (2 * 2 * ...)
Das stimmt nicht, da du die 1/2 nicht beliebig wählen kannst, es müssen ja von jeder Sorte n sein.
Der Ansatz von LUKEars mit der hypergeometrischen Verteilung geht daher in die richtige Richtung. Es gibt ( 2n über n ) mögliche Gruppenbildungen. Für deine angegebene Lösung brauchst du eine andere Begründung.
Die Lösung für a) ist falsch, dazu reicht ein einziges Gegenbeispiel. Für n = 3 gibt es für die eine Gruppe (2n über n) = 20 Möglichkeiten. Die Zusammensetzung der zweiten Gruppe folgt daraus zwangsläufig (der Rest der Mannschaften). Im folgenden habe ich die möglichen Gruppierungen der einen Gruppe (x für Mannschaft x) für n = 3 aufgelistet:
1,2,3 / 1,2,4 / 1,2,5 / 1,2,6 / 1,3,4 / 1,3,5 / 1,3,6 / 1,4,5 / 1,4,6 / 1,5,6
2,3,4 / 2,3,5 / 2,3,6 / 2,4,5 / 2,4,6 / 2,5,6
3,4,5 / 3,4,6 / 3,5,6
4,5,6
Angenommen, 1 und 2 sind die beiden stärksten Mannschaften, dann gibt es in einer Gruppe 4 Fälle mit 1,2. Weil es sich um zwei Gruppen handelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit dann p = 8/20. Allgemein:
p = 2* ((2n-2) über n) / (2n über n)