S.O.S. Wie löse ich diese Aufgabe in Kombinatorik?
Hallo liebe Mathe-Profis,
ich brauche dringend euer Talent. Ich habe die folgenden Aufgaben gelöst, aber ich habe nicht das Gefühl, dass sie richtig sind, und Kombinatorik ist ein Thema, bei dem ich kein Gefühl für die richtigen Antworten habe🙁. Ich füge unten ein Bild mit meinen Antworten an.
1. Sie arbeiten als Geschäftsführer in einem Softwarehaus und haben für dieses Softwarehaus 4 Großprojekte P1, P2, P3, P4 akquiriert. Sie haben als Projektleiter für diese Großprojekte PL1,PL2,PL3,PL4 benannt. In dem Softwarehaus gibt es 7 Entwicklerteams E1,E2,...,E7. Diese Teams können in den 4 Großprojekten eingesetzt werden. Dabei sollen die Mitarbeiter eines Teams aber stets die gleichen Projekte bearbeiten.
(a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn alle 4 Großprojekte bear- beiten werden sollen?
(b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn das erfahrenste Team E1 im schwierigsten Projekt P1 eingesetzt werden soll?
(c) Alle 4 Großprojekte sind erfolgreich abgewickelt worden. Als Provision erhalten Sie vom Softwarehaus 100 Geldeinheiten.
i. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Geldeinheiten an die Projektleiter weiter zu geben? Die 4 Projektleiter können auch leer ausgehen.
ii. Wie viele, wenn Sie mindestens 30 Geldeinheiten, Projektleiter P L1 mindestens 20 Geldeinheiten, Projektleiter P L2 mindestens 15 Geldeinheiten und Projektleiter PL3 mindestens 10 Geldeinheiten bekommen?
Hinweis: Bitte berechnen Sie nicht die konkreten Werte, sondern geben Sie an, wie diese berechnet werden können, d.h. die entsprechende Formeln zur Berechnung der Ergebnisse sind anzugeben!
3 Antworten
(a)
Ich nehme mal an, dass an jedem Großprojekt genau ein Team arbeiten soll.
Es gibt für das erste Projekt 7 Möglichkeiten, ein Team zuzuordnen. Für das zweite nur noch 6, für das dritte dann nur noch 5 und für das letzt nur noch 4 Möglichkeiten, ein Team zugeordnet zu bekommen.
Insgesamt gibt es also 7•6•5•4=840 Möglichkeiten.
Man hätte auch direkt die Formel für die Anzahl an Variationen bei n Objekten genau k auszuwählen, also die Formel
n! / (n – k)! => n=7, k=4 => 7! / 3! = 840.
(b)
Hier ist n=6 und k=3, also gibt es 6! / 3! = 120 Möglichkeiten.
(c.1)
Dem ersten Projektleiter (PL) geben wir k Geldeinheiten, dem zweiten i Geldeinheihen, dem dritten j Geldeinheiten. Dem vierten PL geben wir dann 100–k–i–j Geldeinheiten.
Wenn k gewählt ist (und für k gibt es 101 Möglichkeiten, da 0 auch dazu zählt), dann gibt es für i nur noch n–k+1 Möglichkeiten. Für den dritten PL dann n–k–i+1 Möglichkeiten und zuletzt für j noch n–k–i–j+1 Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also
k•(n–k+1)•(n–k–i+1)•(n–k–i–j+1)
Möglichkeiten. Die Anzahl ist somit
2 306 102 700 000 =
(c.2)
Hier kann ich nur die Formel angeben (wie es in der Aufgabe auch nur erwartet wird).
Das ist die selbe wir oben bei (c.1), nur dass wir x von 30, y von 20 und z von 15 laufen lassen. Zudem ziehen wir davon die Produkte ab, bei dem der letzte Faktor kleiner Zehn ist.
Vielen Dank für deine Bemühungen 🫶. Ich ging tatsächlich davon aus das Teams auch mehrere Projekte übernehmen sollen und jedes Team mind ein Projekt bearbeitet… deine Annahme macht die Sache natürlich etwas angenehmer
Mann, ist das schwammig formuliert. Ich würde es so interpretieren:
- Diese Teams können in den 4 Großprojekten eingesetzt werden = Jedes Team bearbeitet 0 bis 4 Projekte.
- Dabei sollen die Mitarbeiter eines Teams aber stets die gleichen Projekte bearbeiten = ??? Das ist eine Aussage über die Mitarbeiter eines Teams, aber die sind für die Aufgabe irrelevant. Vielleicht wollte man damit ausdrücken, dass man ein Team nicht aufspalten kann. Aber der Plural „Projekte“ suggeriert, dass mehrere Projekte (hintereinander) möglich sind. Das widerspricht sich. Ich vermute, es soll heißen „jedes Team bearbeitet höchstens ein Projekt“.
Dann rechnet man so:
(a) „4 aus 7 ohne Zurücklegen“ (damit jedes Projekt bearbeitet wird) × 5³ Möglichkeiten (P1 - P4 oder Urlaub) für die übrig gebliebenen 3 Teams.
(b) genauso: „3 aus 6 o. Z.“ × 5³.
(c) hängt nicht von den obigen Annahmen ab:
(i) Leg einfach 100+3 Scheine in eine Reihe und nimm 3 beliebige Scheine wieder raus: „3 aus 103 o. Z.“ PL1 bekommt alles vor der ersten Lücke, PL2 alles zwischen der ersten und zweiten Lücke usw.
(ii) Gib jedem seinen Mindestanteil und verteile den Rest wie in (i): „3 aus 28 o. Z.“
Korrekturversuch:
Jedes Team hat ein Projekt oder Urlaub: In diesen 5^7 Möglichkeiten sind alle erlaubten enthalten. Davon muss man noch die abziehen, bei denen nicht alle Projekte verplant sind. Die Teams machen ...
- kein Projekt: 1 (alle haben Urlaub)
- genau 1 Projekt: 2^7 − 1 = 127
- genau 2 Projekte: 3^7 − 2*127 − 1 = 1932
- genau 3 Projekte: 4^7 − 3*1932 − 3*127 − 1 = 10206
So komme ich auf 5^7 − 4*10206 − 6*1932 − 4*127 − 1 = 25200 Möglichkeiten – ohne Gewehr :)
Zumindest geht die Folge laut OEIS sinnvoll weiter: 1, 127, 1932, 10206, 25200, 31920, 20160, 5040 (weiter unten siehst Du die Folge als Dreiecksmatrix). Die letzte Zahl (7!) passt offensichtlich wieder zu „7 Teams machen genau 7 Projekte“. Daher denke ich, dass es so passt.
Aufgabe (b) wird aber schwieriger: 6 Teams müssen jetzt 3 oder 4 Projekte bearbeiten. Wenn die OESIS-Folge hier passt, müssten das 2100+3360 Möglichkeiten sein (aus der Zeile davor: 1, 63, 602, 2100, 3360, 2520, 720).
Gedacht war es eigentlich so, dass die nicht ausgewählten 3 Teams optional als Verstärkung in Projekt P1 bis P4 eingesetzt werden können
Meine Formel ist aber falsch.
Noch ein Lösungsvorschlag, allerdings ziemlich nahe an dem von ralphdieter. Jedes Projekt muss mindestens ein Team erhalten, es beginnt also mit 7 * 6 * 5 * 4 Möglichkeiten, jedem Projekt ein Team zuzuweisen. Dann sind noch 3 Teams ohne Arbeit, hier hat man für jedes Team 4 Möglichkeiten der Zuweisung zu einem Projekt. Macht insgesamt 7 * 6 * 5 * 4 * 4^3 Möglichkeiten.
Bei der (b) ist es ohne den Faktor 7.
Fehler: Bei (a) und (b) werden Lösungen mehrfach gezählt.