Nullstellen?
Wie löst man die Nullstellen dieser Funktion? Polynomdivision, Faktorisieren etc. hat alles nicht funktioniert
5 Antworten
Hallo,
wenn Raten nicht weiterhilft, entweder ein numerisches Näherungsverfahren anwenden oder die Formel von Cardano.
Die Gleichung hat die Form x³+ax²+bx+c mit a=6, b=6 und c=-5.
Zunächst bestimmst Du zwei Werte p und q.
p=(3b-a²)/3; q=2*a³/27-(ab)/3+c.
Nun die Diskriminante D, die über die Art der Lösungen Auskunft gibt:
D=(p/3)³+(q/2)².
Ist D>0, gibt es eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen.
Ist D=0, gibt es drei reelle Lösungen, eine davon ist doppelt.
Ist D<0, gibt es drei reelle Lösungen.
Da D hier gleich -71,5 und damit kleiner als Null, gibt es drei reelle Lösungen, die über ein trigonometrisches Verfahren bestimmt werden, das nur im Fall D<0 zur Anwendung kommt.
Hierzu bestimmst Du zunächst einen Winkel phi mit
phi=arccos [-q/(2*Wurzel (|p|/3)³)].
Hast Du phi, lauten die drei Lösungen:
x1=2*Wurzel (|p|/3)³)*cos (phi/3)-a/3
x2=2*Wurzel (|p|/3)³)*cos (phi/3+120°)-a/3
x3=2*Wurzel (|p|/3)³)*cos (phi/3)+240°)-a/3.
So kommst Du auf x1=0,5289179573; x2=-4,361468766 und
x3=-2,167449191.
Im Falle von D=0 und D>0 müßtest Du mit komplexen Zahlen weiterrechnen.
Dazu berechnest Du zunächst zwei Werte u und v mit
u=³Wurzel (-q/2+Wurzel (D)) und v=³Wurzel (-q/2-Wurzel (D)).
Dann ist
x1=u+v-a/3
x2=-(u+v)/2-a/3+((u-v)/2)*Wurzel (3)i
x3=-(u+v)/2-a/3-((u-v)/2)*Wurzel (3)i.
Nicht ganz so griffig wie die pq-Formel, klappt aber immer und liefert exakte Lösungen, sogar die komplexen.
Herzliche Grüße,
Willy
Wie Tannibi schon schrieb, kann nur der Faktor, der ein Polynom ist, verschwinden.
Ganzzahlige (oder überhaupt rationale) Nullstellen gibt es nicht - die wären Teiler von 5. (Wenn da am Ende "+ 5" statt "- 5" stehen würde, gäbe es eine.)
Ansonsten numerisch nähern oder ein Algebra-System fragen oder selber ausrechnen: https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln#Reduzierung_der_allgemeinen_Gleichung_dritten_Grades
Wenn es mit raten nicht geht, dann kommst du nur weiter mit:
- Algebraischen Verfahren, z.B. mit Hilfe der Cardanische Formeln
- Numerischen Näherungsverfahren wie der Bisektion
- Unterstützung numerisch arbeitenden Tools wie Wolfram Alpha
- ggf. analytischen verfahren mit Hilfe von Ungleichungen, Anschauungen, Grenzwerten usw.
Polynomdivision oder Faktorisieren hilft hier wegen der irrationalen Lösungen nicht. Alternativ kann ein Näherungsverfahren, z.B. das Newtonverfahren, eingesetzt werden oder man greift auf die Cardanischen Lösungsformeln zurück, siehe unten:
x³ + 6 * x² + 6 * x - 5 = 0
A * x³ + B * x² + C * x + D = 0
A = 1 ; B = 6 ; C = 6 ; D = -5
a = B / A = 6 ; b = C / A = 6 ; c = D / A = -5
p = b – a² / 3 = -6
q = 2 * a³ / 27 – a * b / 3 + c = -1
Δ = (q / 2)² + (p / 3)³ = -33/4
hier: Diskriminante Δ < 0
führt zu 3 reellen Lösungen:
x_1 = √((-4/3) * p) * cos[(1/3) * arccos((-q/2) * √(-27/p³)] – (B/(3 * A))
x_2 = -√((-4/3) * p) * cos[(1/3) * arccos((-q/2) * √(-27/p³)) + (π/3)] – (B/(3 * A))
x_3 = -√((-4/3) * p) * cos[(1/3) * arccos((-q/2) * √(-27/p³)) - (π/3)] – (B/(3 * A))
x_1 = √(8) * cos[(1/3) * arccos((1/2) * √(-27/-216))] – (6/3) = 0,528917....
x_2 = -√(8) * cos[(1/3) * arccos((1/2) * √(-27/-216)) + (π/3)] – (6/3) = -2,167449...
x_3 = -√(8) * cos[(1/3) * arccos((1/2) * √(-27/-216)) - (π/3)] – (6/3) = -4,361468...
bei der zweiten Ableitung werden keine Nullstellen gebraucht