Maximum und Minimum von Funktionen?
Ich kenne die Bedingung, dass der Gradient null sein muss im Extremum. Und beim zweiten Kriterium musste man doch schauen, ob die Hesse-Matrix pos./neg. Definit ist.
Ich schaue gerade ein Video, bei dem die das zweite Kriterium so notiert wird:
Meine Frage lautet nun, wird hier genau das gleiche getan, wie wenn man die Definitheit der Matrix prüft? Ich sehe gerade den Zusammenhang nicht, vielleicht kann das jemand beschreiben?
Danke & Grüsse
2 Antworten
Die Definitheit kann man mit den sogenannten Unterdeterminanten bestimmen.
Bei einer 2×2-Matrix gibt es zwei Unterdeterminanten, nämlich den Eintrag an der Stelle (1, 1) und die zweireihige Determinante (also die normale Determinante einer 2×2-Matrix).
Wenn die zweireihige negativ ist, dann liegg Indefinitheit vor (Sattelpunkt).
Wenn der Eintrag (1, 1) und die zweireihige Determinante positiv sind, positive Definitheit vor (lok. Minimum).
Wenn der Eintrag (1, 1) negativ und die zweireihige Determinante positiv ist, so ist die Hesse-Matrix negativ definit (lok. Maximum).
Nichts anderes wurde im Bild gemacht.
Damit ein Extremum vorliegt, muss die zweireihige Determinante positiv sein (dass ist der Ausdruck AC–B²).
Ob nun A positiv oder negativ, entscheidet dann die Art des Extremum.
Es wird die Determinante ausgerechnet.
Hint: Die Hesse-Matrix ist symmetrisch.
Dann gibt es irgendwelche Magie von wegen -B² ist immer < 0, und wenn A>0 und AC - B² > 0, dann muss auch C>0 gelten. Bestimmt gibt es dann auch noch irgendeinen Satz, nachdem für symmetrische Matrizen jetzt positive Definitheit folgt, zumindest für Diagonalmatrizen ist es aber offensichtlich.