Wendepunkte mehrdimensional?

Ich habe eine Frage:

Wenn ich eine Funktion habe f(x,y,…), kann ich für die Extrempunkte ja einfach den Gradienten = 0 setzen und den Punkt in die Hesse-Matrix einsetzen.

Daher frage ich mich, wie man das mit Wendepunkten mach kann. Ich habe mir immer gedacht:

Alle Komponenten der Hesse-Matrix = 0 setzen. Aber womit überprüfe ich dann die Punkte. Ich meine müsste man dann etwas mit einer höheren Ordnung als eine Matrix benutzen. Schließlich ist ein Vektor ja auch eine nx1 Matrix und eine Matrix eine nxmx1 irgendwas? Denn wenn man eine mehrdimensionale Funktion ableitet kommt ja zuerst etwas eindimensionales raus (Gradient (Vektor)). Bei der zweiten kommt ja eine Hesse-Matrix raus.
Weiß irgendjemand wie man hier vorgehen muss, ob es etwas mit höherer Ordnung als Matrix gibt oder ob man was völlig anderes macht.

Answer 1

[RitterToby08]

Die Wendepunkte/ Sattelpunkte (zumindest vermute ich, dass die Begriffe bei euch äquivalent sind) berechnest du nicht über Hesse-Matrix H(x)=0. Du suchst zuerst die kritischen Punkte x mit grad f(x)=0 und anschließend in welchen die Hesse-Matrix indefinit ist.

Zu deinem zweiten Teil der Frage fällt mir der Begriff einer Hypermatrix ein (im Grunde ein Tensor von Rank d). Im Falle d=3 kannst du dir das als Würfel mit Einträgen wie bei einer Matrix (d=2) vorstellen. Natürlich könntest du die Hesse-Matrix als Funktion

$H:\ U\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n\times n}\cong\mathbb{R}^{n^2}$ auffassen und dann davon die Jacobi-Matrix J (falls H partiell differenzierbar) bilden. Das ist dann eine n^2 x n- Matrix, die du auch als Würfel (nxnxn Matrix) schreiben kannst. Aber das brauchst du hier gar nicht.

Comments

[AidenNeufeld]

Naja nein, ich meine die Wendepunkte. Die Sattelpunkte sind ja immer Wendepunkte aber nicht andersherum. Ich meine die Punkte die man ja auch bei einer normalen eindimensionalen Funktion f(x) durch f‘‘(x) bestimmt werden. Denn das sind ja weitaus mehr Punkte

[RitterToby08]

@AidenNeufeld

Wie wurden denn Wendepunkte definiert? Ich kenne davon keine Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen. In einer Dimension ist ein Wendepunkt, der Punkt in dem sich das Vorzeichen der Krümmung der Funktion ändert. In einer Umgebung des Punkts ist also links das Vorzeichen anders als rechts davon. In höheren Dimension kann ich aber nicht mehr von links und rechts sprechen. Ich könnte natürlich Kurven auf dem Graphen der Funktion (aufgefasst als Untermannigfaltigkeit betrachten). Dann hätte ich für diese Kurven wieder einen Krümmungsbegriff und ich könnte Wendepunkte auf dieser Kurve definieren.