Wie zeige ich, dass folgende Funktion konkav ist?

Hallo,

folgende Aufgabe:

Ich soll also zeigen, dass diese Funktion konkav ist. Meine Herangehensweise ist folgende:

Zuerst alle partiellen 2. Ableitungen berechnen, um die Hesse-Matrix aufzustellen.

Dies ergibt eine Hesse-Matrix von

| -2 6 0 |

| 6 -18 0|

| 0 0 -4|

Nun muss ich die Hauptminoren bestimmen und wenn diese alle negativ sind, ist die Hesse-Matrix negativ definit und somit die Funktion auch konkav.

M1 = -2

M2 = (-2*(-18)) - 6*6 = 0

M3 = (-2*(-18)*(-4)) + 0 + 0 - ( 0 + 0 + (-4* 6+6)) = 144-144 = 0

Wie man sieht komme ich nun aber auf zwei nicht negative Hauptminoren, womit meine Hesse-Matrix auch nicht negativ definit ist. Somit konnte ich nicht zeigen, dass meine Funktion konkav ist.

Habe ich einen Rechenfehler übersehen, ist meine Herangehensweise falsch oder gibt es eine andere Herangehensweise, mit der ich das lösen muss? Kann mir da jemand weiterhelfen?

Vielen Dank

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Hallo,

es genügt, dass die Hesse-Matrix negativ semidefinit ist. So ist z.B. auch f(x) = x konkav und f(x) = -x⁴ ist sogar streng konkav, obwohl die zweite Ableitung an der Stelle x = 0 verschwindet.

Die Matrix und deren Hauptminoren sind richtig berechnet.