Matrix Rechnung, Felder füllen?

Ich bräuchte hilfe wie ich Ax rechnen soll. x^T ist mir schon klar

Kann mir jemand eine Rechnung aufstellen (nicht für alles, für z.B die erste Zahl )

Danke

Answer 1

[mihisu]

• Benenne die Lücken mit Kurzbezeichnungen/Variablen.
• Multipliziere die linke Seite der Gleichung aus.
• Koeffizientenvergleich.

============

$x^T\cdot \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & 7 \\ 1 & a_{22} & 2 \\ -1 & a_{32} & 4\end{pmatrix}\cdot x$

$=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & 7 \\ 1 & a_{22} & 2 \\ -1 & a_{32} & 4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+7\,x_3\\x_1+a_{22}\,x_2 + 2\,x_3\\-x_1 + a_{32}\,x_2 +4\,x_3\end{pmatrix}$

$=x_1\cdot \left(a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+7\,x_3\right)+x_2\cdot \left(x_1+a_{22}\,x_2 + 2\,x_3\right)+x_3\cdot\left(-x_1 + a_{32}\,x_2 +4\,x_3\right)$

$=a_{11}\,x_1^2+a_{12}\,x_1\,x_2+7\,x_1\,x_3+x_1\,x_2+a_{22}\,x_2^2 + 2\,x_2\,x_3-x_1\,x_3 + a_{32}\,x_2\,x_3 +4\,x_3^2$

$=a_{11}\,x_1^2+a_{22}\,x_2^2+4\,x_3^2+\left(a_{12}+1\right)\,x_1\,x_2+6\,x_1\,x_3 + \left(2 + a_{32}\right)\,x_2\,x_3$

Das soll nun gleich...

$-x_1^2+3\,x_2^2+c_{33}\,x_3^2+4\,x_1\,x_2+c_{13}\,x_1\,x_3$

... sein. Ein Koeffizientenvergleich liefert dementsprechend das folgende Gleichungssystem:

$\left[\text{G}1\right]:\quad a_{11}=-1\quad \left(\text{Vergleich der Koeffizienten vor }x_1^2\right)$

$\left[\text{G}2\right]:\quad a_{22}=3\quad \left(\text{Vergleich der Koeffizienten vor }x_2^2\right)$

$\left[\text{G}3\right]:\quad 4=c_{33}\quad \left(\text{Vergleich der Koeffizienten vor }x_3^2\right)$

$\left[\text{G}4\right]:\quad a_{12}+1=4\quad \left(\text{Vergleich der Koeffizienten vor }x_1\,x_2\right)$

$\left[\text{G}5\right]:\quad 6=c_{13}\quad \left(\text{Vergleich der Koeffizienten vor }x_1\,x_3\right)$

$\left[\text{G}6\right]:\quad 2+a_{32}=0\quad \left(\text{Vergleich der Koeffizienten vor }x_{2}\,x_3\right)$

Daraus kann man dann einfach die gesuchten Zahlen für die Lücken finden...

$a_{11}=-1;\quad a_{22}=3;\quad c_{33}=4;\quad a_{12}=3;\quad c_{13}=6;\quad a_{32}=-2$

Also erhält man für die linke Seite der Gleichung in der Aufgabe...

$x^T\cdot \begin{pmatrix}\boxed{-1} & \boxed{3} & 7 \\ 1 & \boxed{3} & 2 \\ -1 & \boxed{-2} & 4\end{pmatrix}\cdot x$

Und für die rechte Seite erhält man...

$-x_1^2+3x_2^2+\boxed{4}x_3^2+4x_1x_2+\boxed{6}x_1x_3$

Answer 2

[MichaelH77]

ich ersetze die Kästchen in der linken Matrix von links nach rechts und oben nach unten mit a, b, c und d

multipliziert man dann X^T mit dieser Matrix erhält man:

(ax1+x2-x3 bx1+cx2+dx3 7x1+2x2+4x3)

das wird dann noch mit dem senkrechten Vektor X multipliziert:

ax1²+x2x1-x3x1+bx1x2+cx2²+dx2x3+7x^x3+2x2x3+4x3²

zusammengefasst:

ax1²+cx2²+4x3²+(b+1)x1x3+6x1x3+(d+2)x2x3

durch Koeffizientenvergleich mit dem rechten Teil der Aufgabe erhält man

a=-1 b=3 c=3 d=-2

und die beiden Kästchen rechts: 4 6