Wieso sind zwei Binomialkoeffizienten gleich?

Guten Abend,

ich benötige Hilfe bezüglich der Binomialkoeffizienten und zum Verständnis zur Verwendung von nCr und nPr. Wenn ihr mir eine Antwort hinterlassen möchtet, so geht am besten auf jeden der Punkte mit Nennung des Punktes (1., 2., 3., 4., 5.) ein. :-) Das würde mir perfekt helfen und ich werde es dann hoffentlich endlich verstehen. Am besten wäre eine Antwort mit einer super leicht verständlichen Erklärung :-)

Ich freue mich über eure Antworten.

1. Wieso sind immer (?) zwei Binomialkoeffizienten gleich, bei denen sich nur die untere Zahl unterscheidet?
2. Wieso ist (5 4) also 5 nCr 4 das gleiche wie (5 1) also 5 nCr 1? Beides Mal kommt 5 raus.
3. Das gleiche gilt für (32 31) also 32 nCr 31 und (32 1) also 32 nCr 1. Beide Male kommt 32 raus.
4. Welche Rechnung steckt hinter nCr und welche Rechnung steckt hinter nPr und wo sind die Unterschiede hinsichtlich der „Formel“ und der Verwendung von „nCr“ und „nPr“?
5. Gibt es diese Gleichheit von zwei verschiedenen Binomialkoeffizienten auch bei der Rechnung mit nPr? Oder gibt es das nur bei der Rechnung mit nCr wie oben bei Punkt 2 und 3 in meinen Beispielen?

Answer 1

[MichaelH77]

Definition des Binomialkoeffizienten:
$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$

$\binom{n}{n-1}=\frac{n!}{\left(n-1\right)!1!}=\frac{n!}{\left(n-1\right)!}=n$ $\binom{n}{1}=\frac{n!}{1!\left(n-1\right)!}=n$ die beiden Binomialkoeffizienten haben immer den gleichen Wert

Comments

[maennlich2002]

Vielen lieben Dank für deine Antwort! - Hast du vielleicht Lust und Zeit, auf alle meine Fragen einzugehen? :-) Das würde mir wirklich sehr helfen.

[MichaelH77]

@maennlich2002

nCr: Kombinationen: ohne Beachtung der Reihenfolge, ohne Wiederholung

nPr: Permutationen: mit Beachtung der Reihenfolge, ohne Wiederholung

[maennlich2002]

@MichaelH77

Wo unterscheidet sich die Rechnung mit nPr zu nCr (Punkt 4. in meiner Frage)? Was wird anders gerechnet? Denn es kommt ja ein anderes Ergebnis im Taschenrechner raus.

Answer 2

[Uwe65527]

Schau Dir einfach mal die Definition den Binomialkoeffizieten an. n über k ist dasselbe wie n über (n-k). Das solltest Du selbst nachrechnen können.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math.

Comments

[maennlich2002]

n über k

Das verstehe ich leider noch nicht.

Was bedeutet n über k? Bestimmt (n k) oder? Kann man auch „k aus n“ sagen oder kann man nur „n über k“ sagen?

n über k ist dasselbe wie n über (n-k).

Was ist n über n-k? (n n-k)? Kann man auch „n-k aus n“ sagen oder kann man nur „n über n-k“ sagen?

Wofür steht das n-k?

Was setzt man immer für das n ein und was immer für das k?

Kannst du mir da vielleicht ein Beispiel zu nennen, womit es leicht verständlich ist? :-)

[Uwe65527]

@maennlich2002

Du hast eine Urne mit n Kugeln (z. B. schwarze und weiße) und führst und ziehst k-mal eine Kugel. Die Wahrscheinlichkeit, dass Du bei zwei Ziehungen eine schwarze und eine wiße ziehst, ist genauso hoch, wie die Wahrscheinlichkeit, dass nach 98 Ziehungen eine schwarze und eine weiße Kugel in der Urne verbleiben.

[maennlich2002]

@Uwe65527

Kannst du bitte das Beispiel noch um die dazugehörige Rechnung ergänzen? :-) Und wie ist das Ergebnis aus der Rechnung dann zu interpretieren?

Also die Rechnung in dieser Art:

„Das gleiche gilt für (32 31) also 32 nCr 31 und (32 1) also 32 nCr 1. Beide Male kommt 32 raus.“

Und wofür würde hier dann die 32 stehen?

Könntest du das noch auf dein Beispiel übertragen? :-)

[Uwe65527]

@maennlich2002

Schau mal hier: Binomialkoeffizient einfach erklärt • n über k, Beispiel · [mit Video] (studyflix.de)