[Mathe] Wendestelle bestimmen, f“‘(x) = 0?
Guten Abend,
leider verstehe ich noch nicht ganz, was zu tun ist, wenn bei der Bestimmung der Wendestellen nach f“(x) = 0 setzen und nach dem Einsetzen der x-Werte der möglichen Wendestellen in f“‘(x) dann der Wert 0 rauskommt.
Ich freue mich über eure ausführlichen hilfreichen und leicht verständlichen Antworten sehr :-)
Zusätzliche Fragen:
- Wie nennt man es überhaupt, wenn nach f“(x) = 0 setzen und nach dem Einsetzen der x-Werte der möglichen Wendestellen in f“‘(x) der Wert 0 rauskommt? Wie nennt man dann diesen Punkt? Ich kann mir diesen Punkt gar nicht so wirklich vorstellen, vielleicht könnt ihr mir das ja auch erklären :-) Handelt es sich um einen Punkt, an dem die Krümmung 0 ist aber auch eben kein Krümmungswechsel stattfindet? Also so ungefähr: „Linkskrümmung, Krümmung 0, Linkskrümmung“ oder so: „Rechtskrümmung, Krümmung 0, Rechtskrümmung“?
- Aber habe ich dann in meiner Aufgabe nicht bereits durch f“‘(3) = 0 gezeigt, dass es sich um eine Stelle handelt, an der die Krümmung 0 ist und an der es keinen Krümmungswechsel gibt?
- Also habe ich dadurch nun bereits festgestellt, dass es an der Stelle x = 3 keine Wendestelle gibt?
- Muss ich weitere Prüfungen durchführen, um eine Aussage machen zu können, ob es sich um eine Wendestelle an der Stelle x = 3 handelt, oder nicht?
Hier ein Beispiel einer solchen Aufgabe (mit Musterlösung (letztes Bild)):
3 Antworten
Ergänzungen:
Frage 1)
Wie nennt man dann diesen Punkt?
Da gibts m.E. keinen speziellen Namen.
Handelt es sich um einen Punkt, an dem die Krümmung 0 ist aber auch eben kein Krümmungswechsel stattfindet? Also so ungefähr: „Linkskrümmung, Krümmung 0, Linkskrümmung“ oder so: „Rechtskrümmung, Krümmung 0, Rechtskrümmung“?
Genau. Das könnte man sich auch als schräg liegendes Extremum vorstellen, also so eine Art Pseudoextremum. Der Graph hat da eine Beule.
Frage 2)
Aber habe ich dann in meiner Aufgabe nicht bereits durch f“‘(3) = 0 gezeigt, dass es sich um eine Stelle handelt, an der die Krümmung 0 ist und an der es keinen Krümmungswechsel gibt?
Nein, denn die dritte Ableitung kann auch bei einem Wendepunkt mal zu 0 werden und trotzdem ist es ein Wendepunkt. Das Kriterium ist nicht eindeutig. Fast immer ist es dann wirklich keine Wendestelle, aber es gibt eben auch spezielle Fälle mit Ausnahme. Da hilft im Zweifelsfall nur noch das Vorzeichenwechselkriterium.
Frage 3)
Also habe ich dadurch nun bereits festgestellt, dass es an der Stelle x = 3 keine Wendestelle gibt?
Ja, aber nur mit einer hohen Wahrscheinlichkeit und nicht mit Gewissheit eben wegen der seltenen Ausnahmen.
Frage 4)
Muss ich weitere Prüfungen durchführen, um eine Aussage machen zu können, ob es sich um eine Wendestelle an der Stelle x = 3 handelt, oder nicht?
Ja, du musst das Vorzeichenwechselkriterium anwenden. Die Idee, es immer damit zu versuchen, ist suboptimal. Man kann es immer machen, aber das ist halt immer der längere Weg, weil es sich meistens mit f' ' ' ausgeht, dass das ungleich 0 ist.
Eine wirklich hervorragende Antwort!!! :-) Vielen lieben Dank 🤩😊
Die erste Ableitung wird bei x = 0 zu Null. Das ist der einzige mögliche Kandidat für Extrema. Da die zweite Ableitung an dieser Stelle auch gleich Null ist, handelt es sich nicht um ein Extrema, sondern um einen möglichen Kandidaten für einen Sattelpunkt (ist ein besonderer WP). Da die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich Null ist, liegt ein SP vor.
Die zweite Ableitung wird bei x = 3 zu Null. Folglich handelt es sich um einen möglichen Kandidaten für einen WP. Ein Extrema und ein SP können ausgeschlossen werden, da die erste Ableitung an dieser Stelle ungleich Null ist. Die dritte Ableitung wird an dieser Stelle auch zu Null. Daher muss weiter abgeleitet werden, bis die erste von Null verschiedene Ableitung auftaucht. Die vierte Ableitung (gerader Grad) ist ungleich Null, daher liegt kein WP vor. Hätte die erste von Null verschiedene Ableitung einen ungeraden Grad, läge ein WP vor.
Schau dir sehr gerne meine neueste Frage zu Mathe an, falls du gerade Zeit und Lust hast: https://www.gutefrage.net/frage/mathe-wahrscheinlichkeit-fuer-die-mannschaften-dfb-pokal
Viele Grüße
maennlich2002
Um dem Problem "nächsthöhere Ableitung ist auch 0" zu entgehen (man ist dann genauso schlau wie vorher), bevorzuge ich das Vorzeichenwechselkriterium: man prüft, ob f' (bei Extremstellenuntersuchung) bzw. f'' (bei Wendestellenuntersuchung) in der Nähe der verdächtigen Stelle das Vorzeichen wechselt.
Dritte Ableitung = 0 lässt beide Möglichkeiten offen: Wendestelle (Bsp. f(x) = x^5) oder Extremum (Bsp. f(x) = x14).
Das VZW-Kriterium ist aussagekräftig: VZW da -> Extremum, kein VZW -> Wendepunkt. Ist im letzten Fall auch schon die erste Ableitung = 0 ist es ein Sattelpunkt. Über die Art des VZW kannst du auch eine Aussage über das Krümmungsverhalten machen.
Also reicht es nicht aus, dass ich berechnet habe, das an der Stelle x = 3 die dritte Ableitung gleich null ist - um zu zeigen, dass es keine Wendestelle ist?
Also muss man dann den x-Wert x = 3 in die nächsthöhere Ableitung einsetzen (noch nie gemacht und ist ja auch nicht laut dir zu empfehlen) bzw. das Vorzeichenwechselkriterium anwenden?
Dann würde ich in solchen Fällen immer das Vorzeichenwechselkriterium anwenden.
Welche möglichen Ergebnisse könnte ich beim prüfen auf das Vorzeichenwechselkriterium erhalten? Vorzeichen von f“ wechselt -> Wendestelle vorhanden / Vorzeichen von f“ wechselt nicht -> keine Wendestelle vorhanden.
Falls bei dem Vorzeichenwechselkriterium geprüft wurde, dass das Vorzeichen wechseln sollte, dann wäre es bestimmt keine normale Wendestelle, oder? Wie würde sich eine solche Wendestelle bei der f“‘ = 0 ist von einer „normalen“ Wendestelle unterscheiden, bei der f“‘ ≠ 0 ist?