Mathe-Rätsel richtig gelöst?
Rätsel: Eine Spaghetti zerbricht in 3 zufällig große Teile. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man daraus ein Dreieck bilden kann?
Meine Vorgehensweise:
Mathematische Bedingung aufstellen: a < b+c; b < a+c; c < a+b. Soweit so gut.
Angenommen die Spaghetti ist 20cm lang. Teil a muss also < 10cm sein. Die Wahrscheinlichkeit hab ich hierbei mit 50% angenommen. Zu 50% ist es kleiner 10, zu 50% zwischen 10 und 20 (die 10cm vernachlässige ich dabei).
Die mögliche Länge für Teil a muss also zwischen 0 und 10 liegen. Damit ist Teil a im Durchschnitt 5cm lang.
Selbes Spiel für Teil b. Maximal 10 cm lang --> Wahrscheinlichkeit liegt bei 50%. Im Durchschnitt also auch die Länge von 5cm.
Teil c) darf nun jede beliebige Länge haben, wenn Teil a und b eben dieses Mittel von 5cm haben, denn dann gibt es nur noch 10cm von der Spaghetti, was legitim wäre. Sollten die ersten beiden berechneten Bedingungen also erfüllt sein, dann ist die Länge von c irrelevant (bzw. vorgegeben).
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 50%*50% = 25%.
Ich weiß die Antwort stimmt, aber meine Vorgehensweise scheint mir eigentlich nicht zu stimmen. Wie hättet ihr es berechnet und funktioniert meine Vorgehensweise auch? Falls es falsch ist, wieso ist es falsch?
Warum meinst du denn, dass dein Vorgehen nicht stimmt?
Max. 10cm nur für die ersten beiden Teile. Und die Annahme, dass Teil c jede Länge haben darf ist suspekt.
Auch die Überlegung mit dem Durchschnitt kommt mir nicht ganz richtig vor.
5 Antworten
Das Problem bei deinem Ansatz ist, dass die Stücke a und b nicht stochastisch unabhängig sind, da die Länge von a auch von b abhängt. Somit darfst du die Wahrscheinlichkeiten nicht einfach so multiplizieren. Außerdem erhälst du nicht automatisch ein Dreieck, wenn a und b beide gleichzeitig kleiner als die halbe länge sind.
Mein Ansatz:
Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Spaghetti eine Länge von einer Einheit hat (die Länge ist ziemlich irrelevant, da die Verhältnisse identisch bleiben).
Wir haben nun zwei Zufallsvariablen A und B.
A kann Werte in [0, 1] annehmen, B Werte in [0, 1-A].
Die Zufallavariable (A,B) ist dann gleichverteilt und nimmt Werte in einem Dreieck an.
Wir bestimmen nun den günstigen Bereich:
Aus der Bedingung a+b>c muss A+B >= 1/2 folgen. Aus den anderen beiden Bedingungen muss A<1/2 und B< 1/2 folgen.
Der gültige Bereich sieht also so aus:
Die Wahrscheinlichkeit dass ein Punkt in dem kleinen Dreieck liegt, ist gleich der Fläche des kleinen Dreiecks durch die Fläche des großen Dreiecks. Also (1/2*1/2*1/2)/(1*1*1/2) = 1/4.
Das war mal eine Aufgabe im Spiegel:
Die Lösung habe ich auch gesehen, deshalb weiß ich ja, dass 1/4 stimmt. Aber ich bin mir eben nicht sicher, ob meine Berechnung auch stimmen kann.
100% Wahrscheinlichkeit.
Tatsächlich doch nicht.
Stell dir vor du hast eine Strecke größe 100 und zwei Strecken Größe 1. Wie will man daraus ein Dreieck bilden, die zwei kleinen Strecken könnten sich slebst bei zwei Winkeln von 0 nicht berühren.
Leider nicht. Wenn ein Teil zu lang ist, dann kannst du mit den zwei kleinen Teilen dein Dreieck nicht mehr schließen.
Stimmt nicht! Wenn das längste Stück länger ist als die Hälfte (Also länger als die anderen beiden Teile zusammen), kannst du daraus kein Dreick bilden
Ich würde es so angehen:
Du hast 3 Zufallsvariablen im Wertebereich ]0; unendlich[
Dir muss erst einmal eine Verteilung angegeben werden.
Und dann aggregierst du die Wahrscheinlichkeiten in dem Bereich des durch die Variablen aufgespannten Raumes, in dem das Ergebnis valide ist.
Das hast du bereits definiert mittels deiner Bedingungen. Daraus ergeben sich Hyperebenen die den validen Raum abgrenzen.
"3 zufällig große Teile. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man daraus ein Dreieck bilden kann"
Fehlt da irgendwas an den Bedingungen? Ein Dreieck kann man doch aus drei Strecken (was anderes entsteht mathematisch betrachtet ja nicht) immer bilden, oder
Was an der Frage habe ich nicht verstanden?
Die Teile müssen bündig abschließen, also keine Überstände. Nehme ich an.
Wenn ein Teil zu lang ist, dann kannst du mit den zwei kleinen Teilen dein Dreieck nicht mehr schließen.
Tatsächlich doch nicht.
Stell dir vor du hast eine Strecke größe 100 und zwei Strecken Größe 1. Wie will man daraus ein Dreieck bilden, die zwei kleinen Strecken könnten sich slebst bei zwei Winkeln von 0 nicht berühren.
Aber es fehlt dennoch etwas, nämlich die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Längen.
Gute Idee :) Ich tu mir nur schwer zu definieren, welcher Bereich des Raumes ein valides Ergebnis darstellt.