Gameshow mit 3 Türen, Ziegen und einem Auto - Erklärung?
Moin,
es gibt ja so ein Rätsel, bei dem es um eine Gameshow geht, bei der drei Türen sind. Hinter zwei dieser Türen ist eine Ziege und hinter der dritten Tür findet man ein Auto. Jetzt entscheidet man sich zuerst für eine Tür und der Host, der die Position des Autos kennt, öffnet eine der anderen zwei Türen, hinter der die eine Ziege ist. Jetzt fragt der Host einen, ob man bei seiner Tür bleiben möchte oder ob man die Tür wechseln möchte.
Die meisten Videos, die ich zu diesem Thema gesehen haben, sagen, dass man auf jeden Fall wechseln soll, da die nicht gewählte Tür eine Wahrscheinlichkeit von 2/3 erhalten haben soll.
Doch diese Argumentation verstehe ich nicht, da das zweite Wählen von den Wahrscheinlichkeiten unabhängig vom ersten Wählen ist und es somit 50/50 ist, ob man die richtige der zwei Türen öffnet. Also ich verstehe nicht, warum man wechseln muss.
Vielleicht könnt ihr mir da ja weiterhelfen.
LG
einVerwirrtes
4 Antworten
Machen wir das Beispiel ein Bisschen extremer:
Du hast 100 Türen, hinter 99 Türen sind Ziegen, hinter einer Tür ist ein Auto.
Du wählst nun eine der 100 Türen aus. Der Showmaster macht nun 98 Türen auf, die garantiert eine Ziege dahinter haben.
Frage an dich:
Haben jetzt die beiden türen, die übrig sind nun wirklich die selbe Wahrscheinlichkeit, dass da ein Auto hinter ist?
Nein, es ist viel wahrscheinlicher, dass doe andere Tür das Auto hat, da die Wahrscheinlichkeit, dass du bei der ersten Wahl direkt das Auto triffst, 1/100 ist, also ziemlich gering. Also solltest du auf jeden Fall wechseln.
Bei 3 türen ist es genauso, nur dass der Unterschied nicht so groß ist.
Du vergisst nämlich, dass es eine Komponente im Spiel gibt, die nicht zufällig ist: der Showmaster. Dieser weiß wo was ist, und wählt immer die Tür mit der Ziege.
Selbst wenn der Showmaster keine Ahnung hat, macht das nichts. Wenn er dann aus Versehen die Autotür aufmacht, wäre der Kandidat ja blöd, wenn er dann nicht wechseln würde - das darf er ja.
Das passiert aber auch nur, wenn vorher eine Ziegentür gewählt wurde, so daß es bei der Wahrscheinlichkeit 2/3 für das Auto bleibt, wenn gewechselt wird.
Hallo,
es ist eben nicht unabhängig.
Beim ersten Wählen hat der Kandidat mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 die Ziege erwischt. Nachdem eine von zwei Ziegen ausgemerzt wurde, kann man bei der Tür bleiben, hinter der mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 die andere Ziege ist, oder zu der Tür wechseln, hinter der - falls die gewählte Tür wirklich die Ziegentür war, was ja mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 geschehen ist - nur noch das Auto sein kann.
Das Auto ist dann nur nicht dahinter, wenn bei der ersten Wahl die richtige Tür gewählt wurde - die Wahrscheinlichkeit dafür lag aber nur bei einem Drittel.
Beim Wechsel macht man also aus einer falschen Entscheidung, die zu 2/3 getroffen wurde, eine richtige, während man beim Bleiben nur dann gewinnt, wenn man vorher mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 das Auto erwischt hatte.
Mit dem Wechseln verdoppelt man also tatsächlich seine Chance auf das Auto.
Herzliche Grüße,
Willy
Nur mal der Form halber: man MUSS nicht wechseln.
Es ist aber tatsächlich die bessere Strategie.
Es geht hier ja nicht um die Wkt des einzelnen Wählens, sondern um die Gesamtstrategie und welche Gewinnwkt hinter der Gesamtstrategie liegt.
Mache dir folgendes klar:
Deine Entscheidung ist doch: IMMER wechseln oder NIE wechseln.
Der Moderator macht auf alle Fälle die Tür zu einer Niete (Ziege) auf. Letztendlich geht es um die Entscheidung zwischen zwei Losen (Türen).
Wir gehen mal dein Verhalten durch. Strategie IMMER wechseln: du wählst eine Tür. Mit Wkt 1/3 ist es die mit dem Auto. Mit Wkt 2/3 ist es eine mit Ziege.
Eine Niete die du nicht gewählt hast fällt raus. Du nimmst die andere geschlossene Tür. Dadurch erzeugst du mit Wkt von 1/3 das Ziehen einer Niete und mit Wkt 2/3 das Ziehen des Autos.
Handelst du nach der Strategie: bei der ersten Entscheidung zu bleiben, hast du die due ursprünglichen Wahrscheinlichkeiten: 1/3 für Auto, 2/3 für Ziege.
Das ist eigentlich ganz einfach, nur zunächst nicht intuitiv.
Du entscheidest Dich zunächst für eines von drei Toren. Die Wahrscheinlichkeit, dass du ein Tor mit einer Ziege wählst beträgt 2/3, dementsprechend beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass du das Auto wählst 1/3.
Dadurch, dass jetzt eines der anderen Tore geöffnet wird, ändert sich daran nichts. Du stehst noch immer mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 vor einer Ziege und mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 vor dem Auto.
Da es jetzt aber nur noch ein weiteres Tor gibt beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto sich dahinter befindet 2/3.
Nachdem ein Tor geöffnet wurde verbleiben nur noch ein Auto und eine Ziege. Das heißt immer dann, wenn du dich bei deiner ursprünglichen Wahl für eine Ziege entschieden hast (mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3) bringt ein Wechsel dir das Auto.
Nur dann, wenn du bereits bei deiner ursprünglichen Wahl das Auto gewählt hast (mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3) bringt ein Wechsel dir eine Ziege.