Ziegenproblem?
Hallo,
folgende Aufgabe: „Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie das Tor Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“
Meiner Meinung nach ist es ein Vorteil, da sobald die eine Tür weg ist, gibt es also nur noch eine eine Ziege und das eine Auto. Sprich die Chance das Auto zu gewinnen ist "nur" 50%. Würde man nicht "wechseln", hätte man ja mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 auf eine Ziege gesetzt, und mit 1/3 auf das Auto...
Als ich das in der Klasse verlauten ließ, sagte mein Mathematiklehrer, dass dies falsch sei und es keinen Unterschied machen würde. Auch meine Klasse pflichtete dem Lehrer bei. Wenn wir jetzt eine Arbeit schreiben, in der es um diese Aufgabe geht, was soll ich dann schreiben?!
5 Antworten
Über das Ziegenproblem wird viel gestritten. Lösungen mit dem angeblichen Nachweis des Vorteils eines Torwechsel betrachten nicht alle möglichen Fälle.
Letztlich kann man auch die Gegenmeinung leicht nachvollziehen. Am Ende hat der Kandidat die Wahl zwischen zwei Toren, eines mit und eines ohne Preis. Am Ende ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen also 50:50, und es ist völlig schnuppe, welche Wechselspielchen der Moderator und der Kandidat vorher vollzogen haben.
Nachtrag:
Am Anfang des Spiels kann sich der Gewinn in Tor 1,2 oder 3 befinden, und der Kandidat kann sich für ein Tor entscheiden.
Das ergibt 9 Kombinationen. Zur Betrachtung der Wahrscheinlichkeiten reicht der eine Fall "Gewinn in Tor 1", weil sich die beiden anderen Fälle nicht unterscheiden.
Angenommen der Kandidat bleibt bei der ersten Entscheidung, kann man folgende 12 Fälle unterscheiden. Alle Fälle sind gleich wahrscheinlich. Wie zu erwarten, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit p=1/2.
Angenommen der Kandidat ändert die erste Entscheidung, bleibt p = 1/2 (siehe Bild unten)
Selbst bei 99 Toren mit einer Ziege und einem Tor mit Gewinn, bleibt p = 1/2, weil am Ende aufgrund der Spielregeln und des Wissens des Moderators ein Tor mit Gewinn und eines mit Verlust übrig bleibt.
Es zählt nur die letzte Entscheidung des Kandidaten. Welches Tor er vorher gewählt hat, ist nicht relevant.
Hallo Willy, ich sehe das anders, siehe den Nachtrag zu meiner Antwort. Aber lass uns bitte keinen Disput vom Zaun brechen, ist nicht nötig. Danke !
Hallo,
wenn Du die Tür wechselst, verdoppelst Du tatschlich Deine Gewinnchance von 1/3 auf 2/3. Bei der ersten Wahl hast Du mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 die Ziege erwischt. Da der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet, merzt er nun eine falsche Möglichkeit aus, indem er eine von den beiden Türen öffnet, die Du nicht gewählt hast und hinter der sich eine Ziege befindet.
Immer noch aber befindet sich hinter Deiner Tür mit einer 2/3-Wahrscheinlichkeit eine Ziege, denn hinter einer der beiden anderen Türen war ja auf jeden Fall noch mindestens eine Ziege, die Dir der Moderator zeigen konnte. Die letzte Tür ist nun mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 das Auto, mit genau der Wahrscheinlichkeit, mit der Du bei Deiner ersten Wahl danebenlagst.
Der Moderator hat die Tür ja nicht zufällig geöffnet, sondern abhängig von Deiner ersten Entscheidung. Hast Du auf eine Ziegentür gedeutet, kann er nur noch eine Tür öffnen, nämlich die mit der anderen Ziege, so daß hinter der letzten auf eden Fall das Auto wartet. Durch das Wechseln gewinnst Du.
Hast Du mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 auf die richtige Tür getippt, kann sich der Moderator zwischen zwei Türen mit Ziegen dahinter entscheiden. In diesem Fall würdest Du durch das Wechseln verlieren.
Es gibt also letztlich nur zwei Szenarien: Beim ersten Mal lagst Du richtig (p=1/3) - dann solltest Du nicht wechseln. Oder Du lagst falsch (p=2/3), dann solltest Du wechseln.
In zwei von drei Fällen führt das Wechseln also zum Auto, während Du bei Deiner ersten Entscheidung nur in einem von drei Fällen richtig getippt hättest.
Das Stichwort lautet bedingte Wahrscheinlichkeit und wird von vielen Menschen - mitunter auch von Mathelehrern - nicht wirklich verstanden.
Willy
Ok, vielen Dank für diese tolle Antwort. Wenn ich noch einmal zusammenfasse:
Man will zeigen, dass ein Wechsel Sinn macht, also geht man die einzelnen Möglichkeiten durch. Sprich, hätte man auf eine Ziege gesetzt und der Moderator würde eine Ziege entfernen, hätte man in beiden Fällen das Auto gewonnen. Nur in einem Fall, sprich wenn man auf das Auto gesetzt hätte, hätte man eine Ziege bekommen. Also drei Möglichkeiten und zwei die zum Ziel führen: 2/3, dass das Wechseln Sinn macht?! Ist das deine Begründung oder kann man diese 2/3 direkt erkennen?
Genau. Da Du in zwei von drei Fällen bei Deiner ersten Entscheidung falsch lagst, gewinnst Du in zwei von drei Fällen durch das Wechseln. Der Moderator, der eingeweiht ist, zeigt Dir ja auf jeden Fall eine Ziege.
Dazu gibt es übrigens ein ganzes Buch:
https://www.amazon.de/Das-Ziegenproblem-Wahrscheinlichkeiten-Gero-Randow/dp/3499619059/ref=sr_1_1?__mk_de_DE=ÅMÅŽÕÑ&crid=2QG70XO7RJ91D&dchild=1&keywords=das+ziegenproblem&qid=1620473268&s=books&sprefix=Das+Ziegenpr%2Caps%2C206&sr=1-1
Sehr lesenswert.
Um auf diese 2/3 zu kommen, muss man ja alle Möglichkeiten durchgehen oder gibt es da noch eine andere Methode, die einem die 2/3 liefert?
Wie ich in meinem Kommentar geschrieben habe. Du lagst am Anfang zu 2/3 falsch. In diesem Fall führt die Tür, die noch übrigbleibt, hundertprozentig zum Auto. Nur in 1/3 der Fälle gerätst Du durch das Wechseln an eine Ziege.
Dazu gibt es reichlich Beiträge im Internet, wo begründet wird, dass der Wechsel sinnvoll ist. Kennt die euer Lehrer nicht? Beispiel
https://praxistipps.chip.de/ziegenproblem-die-loesung-einfach-erklaert_98889
Mir ist schon klar, wie man darauf kommt, aber mein Lehrer ist andere Meinung....
Der wird doch wohl nicht so stur sein, bei entsprechenden Materialien auf seiner Meinung zu beharren?
Schon https://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem gelesen?
Nein, aber was soll ich machen, wenn mein Lehrer anderer Meinung ist?!
Zeichne ihm zwei Baumdiagramme auf, eins für den Fall, daß er wechselt, eins für den Fall, daß er nicht wechselt.
Erste Verzweigung: 1/3 Auto, 2/3 Ziege. Wechseln führt, da nur noch die Tür mit dem Auto übrigbleibt, wenn er wechselt, auf jeden Fall zum Auto. 2/3*1=2/3
Wechselt er nicht, bekommt er das Auto nicht und dieWahrscheinlichkeit, es zu gewinnen, sinkt auf 0. 2/3+0=2/3.
Fall 2: er bleibt bei seiner Entscheidung.
Erste Verzweigung: 1/3 Auto, 2/3 Ziege.
Da er bleibt, gewinnt er im ersten Fall das Auto: 1/3*1=1/3.
Hat er aber zu Beginn die Ziege gewählt, ist, da er nicht wechselt, seine Chance, das Auto zu gewinnen, auf 0 gesunken.
1/3+0=1/3.
Im ersten Fall gewinnt er zu 2/3, im zweiten nur zu 1/3. Wenn der Lehrer das nicht glaubt, sollte er Kunst oder Religion unterrichten.
Danke. Könntest du mir bitte noch bei dieser einen Frage helfen: https://www.gutefrage.net/frage/ziegenproblem-verstehen ;)
Ich habe nämlich eine Abbildung gefunden, wo das mit den 2/3 berechnet werden soll, verstehe aber gerade nicht ganz, wie das alles funktionieren soll. Laut dem Baumdiagramm auf dem Foto, käme ja, wenn man auf T2 setzt nur T2 und T3 in Frage, was aber doch keinen Sinn macht?! Wenn ich doch nicht weiß, ob hinter T2(auf die ich gesetzt habe) ein Auto ist oder nicht kann ich doch nicht sagen, dass zum öffnen T2 und T3 bleiben, zumal im Fall, dass hinter T2 ein Auto wäre die Wahrscheinlichkeit auf T3 zu setzen 0.5 und auf T1 0.5 wäre. Wenn T2 ja eine Ziege wäre, dann wäre ja die Wahrscheinlichkeit 1 auf eine der beiden und 0 auf eine der beiden, da man ja nicht weiß, hinter welcher was ist. Mir ist die ganze Argumentation da nicht klar...
LG
Die Graphik ist nicht sehr zielführend. Letztendlich hängt nämlich alles davon ab, welche Strategie für den Kandidaten die günstigste ist. Man braucht also drei Baumdiagramme. Im ersten wechselt der Kandidat auf jeden Fall.
Dann ist die erste Verzweigung: 1/3: Er hat das Auto gewählt. Da er wechselt, verliert er, denn der Wechsel führt auf jeden Fall zur Ziege.
2/3: Er hat eine Ziege gewählt. Da er wechselt, gewinnt er, denn der Wechsel führt in diesem Fall auf jeden Fall zum Auto.
Bei dieser Variante hat er eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3.
Variante 2: Er wechselt nicht.
1/3: Er hat das Auto gewählt. Da er nicht wechselt, gewinnt er.
2/3: Er hat eine Ziege gewählt. Da er nicht wechselt, verliert er.
Hier liegt seine Gewinnwahrscheinlichkeit bei 1/3.
Variante 3:
Er entscheidet sich mal so, mal so mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/2.
1/3: Er hat das Auto gewählt. 1/2: Er wechselt. Er verliert.
Er wechselt nicht, er gewinnt. Wahrscheinlichkeit für diesen Fall (1/3)*(1/2)=1/6.
2/3: Er hat eine Ziege gewählt. Wechselt er nicht, verliert er, wechselt er, gewinnt er. (2/3)*(1/2)=1/3.
Bei dieser Variante führen also zwei Wege zum Auto: Richtig raten und nicht wechseln mit p=1/6 und falsch raten und wecheln mit p=1/3.
1/3+1/6=3/6=1/2.
Du siehst: Von allen drei möglichen Strategien führt die erste, nämlich auf jeden Fall zu wechseln, zur besten Gewinnchance von 2/3.
Die zweite (nie wechseln) hat eine Erfolgsaussicht von 1/3, die dritte (mal so, mal so) führt mit p=1/2 zum Auto.
Was mich halt größtenteils irritiert, ist dieses Baumdiagramm. Wenn ich das richtig verstehe, dann steht der Elternknoten T1 für das Auto, dass sich hinter der Tür befindet?! Dann macht nämlich auch der Rest Sinn. Das einzige unlogische ist jetzt noch für mich, wie man auf P(Preis hinter T3|T2 geöffnet) kommt. Weshalb muss gerade T2 für den Gewinn geöffnet sein, sprich warum steht es als Bedingung dabei?
Vergiß dieses Diagramm. Es ist für die Fragestellung völlig unbrauchbar.
Wenn das Auto hinter T1 steht und sich der Kandidat für diese Tür entschieden hat, ist völlig egal, welche der beiden Ziegentüren geöffnet wird.
Die zweite Verzweigung muß angeben, ob der Kandidat wechselt oder nicht.
Daß der Moderator in jedem Fall eine Tür mit einer Ziege öffnet, darf als gegeben vorausgesetzt werden. Letztlich gibt es nur zwei Wege zum Auto:
Richtig raten und nicht wechseln oder falsch raten und wechseln. Im zweiten Fall führt das Öffnen der Tür dazu, daß das Wechseln auf jeden Fall zum Auto führt, im ersten Fall sorgt das richtige Raten dafür, daß nur der Verzicht auf den Wechsel den Gewinn bringt. Im ersten Fall - richtig geraten - ändert das Türöffnen überhaupt nichts. Wenn der Kandidat wechselt, verliert er.
Im zweiten Fall führt das Türöffnen dazu, daß das Wechseln auf jeden Fall zur richtigen Tür führt. Das Diagramm muß also so aussehen, daß die erste Verzweigung die Entscheidung des Kandidaten zeigt, die zweite die beiden Fälle, ob er wechselt oder es bleiben läßt. Der Moderator hat nur im ersten Fall die Entscheidung zwischen zwei Ziegentüren, die aber völlig unerheblich ist. Im zweiten Fall bleibt ihm gar keine andere Wahl, als die Tür mit der Ziege zu öffnen.
Wie gesagt, deine Erklärung leuchtet mir voll und ganz ein und ich kann sie auch nachvollziehen. Ich versuche aber auch das, was auf dem Foto steht nachzuvollziehen, weil es da ja ein wenig anders rangeht. Verstehe leider gerade gar nicht, weshalb man die Wahrscheinlichkeit für Gewinn hinter T1 unter der Bedingung, dass Tür 2 geöffnet wurde berechnet... Wie kommt man überhaupt darauf bei: P( Preis hinter T1| Tür 2 offen) für Preis hinter T1 = 1/6 zu schreiben? Die Wahrscheinlichkeit ist doch 1/3 dafür?
Wie gesagt, ich versuche auch noch andere Beweise zu verstehen. ;)
Na, wenn Du die beiden 1/6 addierst, kommst Du auch wieder auf 1/3.
Die Wahrscheinlichkeit, daß hinter T1 das Auto ist und T2 geöffnet wird, beträgt (1/3)*(1/2)=1/6. Die gleiche Wahrscheinlichkeit ergibt sich für Auto hinter T1 und Öffnen von T3. Das sind alle Möglichkeiten, wenn das Auto hinter T1 steckt und ergibt zusammen 2*1/6=1/3.
Ist korrekt, aber völlig nebensächlich. Wenn das Auto hinter T1 steht, ist es so egal, welche der beiden anderen Türen geöffnet wird, als ob in China der berühmte Sack Reis umfällt. Wer auch immer dieses Diagramm fabriziert hat, hat den Kern der Sache nicht verstanden und alles unnötig verkompliziert. In solchen und ähnlichen Fällen arbeitet man in der Regel ohnehin mit gekappten Baumdiagrammen, indem man nur die Zweige verfolgt, die zum gewünschten Ergebnis führen und die anderen wegläßt. Wenn der Kandidat nicht die richtige Kombination gewählt hat, also falsch raten und wechseln oder richtig raten und nicht wechseln, geht er mit einer Ziege nach Hause, so einfach ist das.
Für beide Wege gibt es eine einfach zu berechnende und glasklare Wahrscheinlichkeit. Alles andere ist bestenfalls schmückendes Beiwerk, das am Ergebnis nichts ändert.
Und genau das irritiert mich... Da steht doch nicht, dass die Wahrscheinlichkeit für Auto hinter T1 unter der Bedingung, dass T2 geöffnet wurde = 1/3 ist, wie ich es auch vermutet habe... Da steht doch: (1/6)/0.5?!
Das ist doch 1/3. (1/6)/(1/2)=(1/6)*(2/1)=2/6=1/3.
Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert.
Ich sage doch, dieses bescheuerte Diagramm verwirrt einfach nur und sorgt für völlig überflüssige Diskussionen. Vergiß es einfach.
Ja und wie kommt man dann auf die 1/6? Die 1/6 stellen doch die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn hinter Tür eins dar?!
Nein. Die stehen für die Kombination Auto hinter Tür 1 und Öffnen von Tür 2. Die spielt aber für die Fragestellung eigentlich überhaupt keine Rolle.
Also nochmal: Bsp: Ich will die Wahrscheinlichkeit für: P(Gewinn hinter T1| T2 offen) berechnen. Wie mache ich das dann? Ich glaube da ist mein Denkfehler. Ich nahm an, dass 1/6 für: Gewinn hinter T1 und 0.5 für Tür2 offen steht?! Oder wie kommt man darauf?
Ja. Auto hinter T1 und T2 wird geöffnet ergibt eine Wahrscheinlichkeit von (1/3)*(1/2)=1/6. Da natürlich auch die Möglichkeit betrachtet werden muß, daß T3 geöffnet wird (Wahrscheinlichkeit ebenfalls 1/6) und mit diesen beiden Fällen alle Möglichkeiten abgedeckt sind, bei denen das Auto hinter T1 steht, addieren sie sich zu 1/3, was auch ohne das Öffnen irgendeiner Tür so gewesen wäre.
Kann man das dann so schreiben: (1/3)*0.5/(1/3)*0.5 + (1/3)*0+(1/3)*1?
Also, ich muss sagen, dass es mir wirklich leidtut, wenn ich mit meinen vielen Nachfragen nerve, aber ich glaube, dass wir aneinander vorbeireden. Laut Foto steht doch da: P(Tür 1 offen unter der Bedingung, dass Tür zwei geöffnet wurde)?! Weshalb schreibst du denn dann: " und mit diesen beiden Fällen alle Möglichkeiten abgedeckt sind, bei denen das Auto hinter T1 steht"? Von der Logik her, doch nur 1/3*0.5 und ich komme auf 1/6 für die Wahrscheinlichkeit, dass unter dieser Bedingung das Ereignis des Gewinnes auftritt?!
Der Autor des Artikels hat ja für diese oben angegebene Wahrscheinlichkeit 1/3 raus... Anstatt 1/6
Der Moderator kann genausogut T3 öffnen. Beide Kombinationen zusammen ergebn die Wahrscheinlichkeit von 1/3. Das ganze Diagramm ist einfach nur albern.
Ok, aber dann ist ja sogar beim Autor P(Tür1 Gewinn|Tür2 offen) falsch, da er ja 1/3 raus hat, wir dafür aber beide doch 1/6?!
Mir ist schon klar, dass die Teilwahrscheinlichkeiten 1/3 ergeben, aber dann ust doch wie gesagt das Ergebnis des Autors falsch, da ja eben P(Tür1 Gewinn|Tür2 offen) nicht 1/3 sondern 1/6 ist...
Das Diagramm ist ohnehin völlig unsinnig. Ich habe auch keine große Lust mehr, mich mit diesem Ding zu beschäftigen. Es trägt nicht das Geringste zum Verständnis und zur Lösung des Problems bei.
Das Diagramm meine ich auch nicht mehr. Bitte sag mir nur, ob ich Recht habe, dass der Auto falsch liegt(Bin total am verzweifeln)?! Mit P(T1 Gewinn|T2 offen) drückt man ja folgendes aus: Die Wahrscheinlichkeit, dass T1 Gewinn eintritt, unter der Bedingung, dass T2 offen eingetreten ist. Da komme ich dann auf 1/6... Der Autor schrieb aber 1/3....
Das wird dadurch nicht ausgedrückt. Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß unter der Bedingung, daß das Auto hinter Tür 1 liegt, Tür 2 geöffnet wird.
Die Wahrscheinlichkeit ist dann aber 1/2, nicht 1/6. Wenn hinter der Tür 1 das Auto steht und das Voraussetzung ist, wird Tür 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 geöffnet. Das hat aber mit dem Ziegenproblem nichts mehr zu tun.
Egal, trotzdem müsste die Wahrscheinlichkeit dafür doch 1/6 sein und nicht 1/3.... Weil: Zuerst 1/3, dass man Tür 1 wählt und dann mal 0.5 wegen den 2 Mögl. T2 und T3?
Das ist aber die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen zweier Ereignisse:
Auto hinter T1, Öffnen von T2.
Eben. Ich meine exakt die Wahrscheinlichkeit, die vom Autor so angegeben wurde: P(Preis hinter T1| T2 geöffnet) habe es nur anders formuliert.... Der Autor gibt dafür aber 1/3, was ja falsch zu sein scheint... Falls du denkst ich beziehe mich auf das Baumdiagramm, nein, dem ist nicht so. Ich beziehe mich lediglich auf diese angegebene Form.
Wenn das Auto hinter T1 steht und der Kandidat T2 gewählt hat, muß der Moderator T3 öffnen. T2 kann also in dem Fall nur dann geöffnet werden, wenn der Kandidat auf T3 oder T1 getippt hat. Du mußt also rechnen (1/3)*(1/3)*(1/2), wenn der Kandidat T1 gewählt hat, und (1/3)*(1/3)*1, wenn der Kandidat T3 gewählt hat. Das ergibt insgesamt 1/18+1/9=1/3. Wählt der Kandidat T2, kann der Moderator diese Tür natürlich nicht öffnen, sondern muß T3 öffnen. In diesem Fall liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, daß T2 geöffnet wird, bei 0.
Wenn also das Auto hinter T1 steht, wird T2 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 geöffnet. Man darf die Entscheidung des Kandidaten nicht vernachlässigen, denn davon hängt ab, was der Moderator tut.
1/18+1/9=1/3? Da kommt doch 1/6 raus, so wie ich es gesagt habe?!
Nein, 1/6; ich habe mich verrechnet. 1/9 sind 2/18. Ich hatte gerechnet 1/18=2/9, was Blödsinn ist.
Ok, also bestätigst du ja mit deinem Ergebnis von 1/6, dass das Ergebnis des Autors(das, was ich geschickt habe) falsch ist, da dieser ja 1/3 dafür raus hat? Danke nochmal für die Erklärung
Ok, aber warum steht denn dann sowas im Internet, wenn doch alles falsch ist?!
Du glaubst doch jetzt nicht im Ernst, daß alles, was im Internet steht, die reine Wahrheit ist? Ich habe sogar schon in ganz seriösen Mathematikbüchern - und nicht einmal selten - Fehler gefunden.
Nein, aber ich bin eher fassungslos... Wenn das "erste P" falsch ist, dann ist auch garantiert bei dem Autor das zweite P für P(Preis hinter T3| T2geöffnet) falsch?!
Kann sein. Wie gesagt, ich habe keine Lust mehr, mich mit diesem wirren Zeug zu beschäftigen, das dieser Autor da von sich gibt. Was das eigentliche Ziegenproblem angeht, habe ich wohl hinreichend bewiesen, wie klar und einfach es zu lösen ist, ohne unnötig komplizierte Diagramme zu erstellen.
Genau, ich danke dir nochmals von ganzem Herzen. Ich finde es echt toll, wie du hier Seiten füllst, um etwas zu erklären! Danke
Lies das eben mal durch:
Ist die Grafik nicht falsch? Wenn man doch z.B. Tür 3 geöffnet hat, wie können dann noch T2 und T3 geöffnet werden?!
Ich meine bei T3 dahinter sind och die Unterpfade T2 und T3. Das kann doch nicht sein?!
Ok, kannst du mir bitte noch den beigefügten Text deines Bildes erklären? Da die Grafik ja scheinbar fehlerhaft ist, erschließt sich mir das Ganze gerade nicht.
Der Wechsel lohnt sich deswegen, weil in 2/3 aller Fälle nach dem Türöffnen durch den eingeweihten Moderator hinter der nicht gewählten Tür das Auto wartet. Ohne das Öffnen würde ein Wechsel nichts bringen, weil man sich auch ein zweites Mal irren könnte. Die Annahme, man hätte nach dem Öffnen eine Chance von 1/2, nun richtig zu liegen, ist falsch, weil sich hinter der nicht gewählten und nicht geöffneten Tür abhängig von der ersten Entscheidung das Auto befindet, nämlich immer dann, wenn zuerst eine Ziege gewählt wurde (p=2/3) oder eine Ziege, wenn zuvor auf die Tür mit dem Auto getippt wurde (p=1/3).
Wer wechselt, verdoppelt seine Gewinnchance von 1/3 auf 2/3, da beißt die Maus keinen Faden ab.