Mathe Hilfe?

Wie löse ich diese Aufgabe ?

Answer 1

[evtldocha]

Lösungsskizze (keine Komplettlösung):

Du machst den Ansatz für die ganz-rationale Funktion 3. Grades:

$f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d$

Dann übersetzt Du die Bedingungen des jeweiligen Designs in eine Gleichung. Daraus erhältst Du ein lineares Gleichungssystem für die 4 Koeffizienten a, b, c und d.

Für Design I. ergibt sich beispielsweise das Gleichungssystem

f(4)  = 0 → (1)  64·a + 16·b + 4·c +   d = 0
f'(4) = 0 → (2)  48·a +  8·b +   c + 0·d = 0
f'(0) = 0 → (3)   0·a +  0·b +   c + 0·d = 0
f(0)  = 2 → (4)   0·a +  0·b + 0·c +   d = 2

dessen Lösung $a=\frac{1}{16};\ b=-\frac{3}{8};\ c=0;\ d=2$ ergibt. Damit lautet die Funktion für Design I.

$f\left(x\right)=\frac{1}{16}x^3-\frac{3}{8}x^2+2$

Skizze:

Anmerkung: Das maximale Gefälle ist das Maximum der ersten Ableitung und damit die Steigung am Wendepunkt der Funktion.