Mathe Funktionen?
Danke im voraus
2 Antworten
4 a. Zeige, dass jede Funktion mit Grad weniger als drei keinen Wendepunkt hat. Vorgehensweise:
Sei f eine beliebige Funktion n-ten Grades. Dann argumentiere, dass kein Punkt im Graphen von f die Definition eines Wendepunkts erfüllt: Für f(x) = ax^2 + bx + c mit a ungleich null sein ist f'' = a ungleich null also ist f'' niemals null. Für f(x) = mx + t mit m ungleich null ist f''(x) = 0 und f' ist konstant. In beiden Fällen kann kein Punkt ein Wendepunkt sein.
b. Zeige, dass f stetige Funktion für x < y als Bilder (Werte) der Funktion, x und y unterschiedliche Extrema, ein Punkt z mit x < z < y existiert, sodass z ein Wendepunkt ist. Vorgehensweise:
Sei f eine beliebige stetige Funktion mit x, y mit f'(x) = f'(y) = 0. Da die Extremata unterschiedlich sind, gilt entweder f''(x) < 0 < f''(y) oder f''(y) < 0 < f''(x). Dann muss, da f und somit f'' stetig ist (nach dem ZWS), ein Punkt z in ]x, y[ existieren mit f''(z) = 0 also z Wendepunkt.
Bei der 5 musst du dir wohl ein studyflix video über polymondivision anschauen, kann man nix machen
Hoffe das hilft, LG
Deine Argumentation ist korrekt, je nachdem wie ihr das (denke ich mal) in der Schule eingeführt habt. Aber beachte:
Angenommen, du hast eine (ich nehme an Polynom-)Funktion dritten Grades:
f(x) = ax^2 + bx + c für x reell.
Dann ist die erste Ableitung ("Steigung"):
f'(x) = [ax^2 + bx + c]' = [ax^2]' + [bx]' + [c]'. Dabei ist [ax^2]' = a[x^2]' = 2ax und [bx]' = b[x]' = b * 1 = b und [c]' = 0. Also f'(x) = 2ax + b.
Die zweite Ableitung ("Krümmung"):
f''(x) = [f']'(x) = [2ax + b]' = [2ax]' + [b]' = 2a[x]' + 0 = 2a
und die dritte Ableitung (die tatsächlich existiert):
f'''(x) = [f'']'(x) = [2a]' = 0
Alle weitergradigen Ableitungen sind ebenfalls alle konstant gleich null. Also existieren unendlich viele Ableitungen, aber fast alle (alle bis auf endlich viele, i.d.F. zwei) sind konstant gleich null. Für einen Wendepunkt wird außerdem eine nicht konstant gleich null-e dritte Ableitung vorausgesetzt, bzw. eine nicht konstante zweite Ableitung.
Beachte, dass nicht alle Funktionen unendlich oft differenzierbar ("ableitbar") sind, aber Polynomfunktionen (ax^n + bx^(n-1) + ... + ω) dies sind, deshalb gibt es unendlich viele Ableitungen.
Hoffe das hilft LG
x⁵ - x⁴ - 9x³ + 9x² + x - 3) : (x - 3) = x⁴ + 2x³ - 3x² + 1
-(x⁵ - 3x⁴)
-------------------
2x⁴ - 9x³
-(2x⁴ - 6x³)
------------------
-3x³ + 9x²
-(-3x³ + 9x²)
------------------
x - 3
-(x - 3)
-----------------
0
Danke dir erstmal. Ich verstehe allerdings deine Argumentationen nicht. Ich habe es selber versucht zu argumentieren und weiß allerdings nicht , ob dass korrekt ist : Ein Wendepunkt tritt auf, wenn sich die Krümmung der Funktion ändert. Dafür muss die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle null sein. Damit die Funktion eine zweite Ableitung hat, muss der Grad mindestens 3 sein, weil:
Der Grad einer Funktion bestimmt, wie viele Ableitungen existieren.
Eine Funktion 2. Grades hat nur eine erste und zweite Ableitung, aber keine Änderung der Krümmung .
Zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt muss die Funktion ihre Krümmung ändern, damit sie von steigend auf fallend (Hochpunkt) oder umgekehrt (Tiefpunkt) wechselt. Diese Änderung der Krümmung passiert an einem Wendepunkt.