Lösungsansatz für diese Reihe?

Hat jemand eine Idee, wie ich an diese Reihe rangehe um den Wert zu bestimmen?

Man könnte den Nenner ausmultiplizieren & die 2 im Zähler vor die Summe ziehen, aber das bringt mich hier nicht wirklich weiter.

Answer 1

[ShimaG]

Betrachte erstmal die endliche Summe

$\sum_{k=1}^n\frac{2}{\left(k+2\right)\cdot k}$

Du kannst das Argument der Summe als Partialbruchzerlegung schreiben:

$\frac{2}{\left(k+2\right)\cdot k}=\frac{a}{k+2}+\frac{b}{k}$

mit geeigneten Zahlen a und b. Du wirst dann feststellen, dass eine davon negativ ist, und kannst dann durch Verschieben der Summengrenzen bei der endlichen Summe eine Teleskopsumme erzeugen, bei der sich fast alle Summanden aufheben.

Das Ergebnis deiner Reihe ergibt sich dann durch Grenzwertbetrachtung n->unendlich.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium und Promotion in Angewandter Mathematik

Answer 2

[ChrisGE1267]

Ich würde mal versuchen, eine Partialbruchzerlegung durchzuführen - vermutlich ergibt sich eine Teleskop-Summe… :-)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Comments

[LoverOfPi]

Ist das nicht einfach ≤1/k² und das konvergiert, also kvg. die Reihe mit dem Majorantenkriterium?

[ChrisGE1267]

@LoverOfPi

Konvergenz ist klar - hier soll ja aber explizit der Wert der Reihe bestimmt werden… :-)

[LoverOfPi]

@ChrisGE1267

Ups, Frage bloß überflogen. :D

[Sheeeeesh2]

Klasse, dass hat prima geklappt. Kannst du mir verraten, woran du eine PBZ als sinnvoll gefunden hast? Gibt es da Merkmale, die dass einem verraten?

[ChrisGE1267]

@Sheeeeesh2

Erfahrung - so etwas gehört zum Standard-Repertoire eines Mathematikers… :-)

Answer 3

[mihisu]

Partialbruchzerlegung und dann zu einer Teleskopreihe ergänzen

============

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2}{\left(k+2\right)\cdot k}$

[Partialbruchzerlegung]

$=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$

[mit + 1/(k+1) - 1/(k+1) zu einer Teleskopreihe ergänzen]

$=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\underbrace{\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}}_{a_k}-\underbrace{\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}\right)}_{a_{k+1}}\right)$

$=\overbrace{\frac{1}{1}+\frac{1}{1+1}}^{a_{1}}-\lim\limits_{n\to \infty }\overbrace{\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)}^{a_{n+1}}$

$=1+\frac{1}{2}-0=\frac{3}{2}$