Lösung zu dieser Sachaufgabe?
Ich besuche die 11. Klasse eines Gymnasiums. Wir behandeln gerade die Integralrechnung und um genau zu sein das Berechnen bestimmter Integrale. Zu lösen ist die Aufgabe 18. Ich habe selber leider keine Idee wie ich diese Aufgabe mit Hilfe von bestimmten Integralen lösen soll. Bitter um Lösung mit Lösungsweg.
Danke!
6 Antworten
Im Prinzip wollen wir die zu bemalende Fläche berechnen. Diese ergibt sich aus der Fläche der Mauer ohne das Tor (Rechteck) minus die Fläche des Tors. Die Fläche des Rechtecks zu berechnen stellt kein Problem dar, A = 10m * (2m + 4m + 2m) = 80m².
Die Fläche des Tors, das eine Parabel ist, können wir mithilfe der Integralrechnung berechnen. Dafür brauchen wir aber erstmal die Funktionsgleichung und damit ein Koordinatensystem. Wir legen die x-Achse als die untere Linie der Mauer fest und die y-Achse soll durch den Scheitel der Parabel verlaufen (zeichne dir das evtl. auf, dann kannst du es dir besser vorstellen). Dann wissen wir, dass die Parabel in x-Richtung nicht verschoben ist, in y-Richtung um 4,8m. In Scheitelpunktform haben wir dann:
y = a * (x-0m)² + 4,8m = ax²+4,8m
Jetzt lesen wir einen Punkt ab, zum Beispiel P(-2/0), am linken "Fuß" der Parabel (die Nullstelle). Das setzen wir ein und lösen nach a auf:
0 = a*(-2)² + 4,8m
-4,8m = 4*a
a = -1,2
Die Gleichung der Parabel lautet: f(x) = -1,2x²+4,8
Das können wir integrieren:
F(x) = -0,4x³ + 4,8x
Jetzt brauchen wir nur noch die Integrationsgrenzen. In unserem Fall liegen die bei -2 und 2.
Das setzen wir jetzt ein und rechnen aus:
(-0,4 * 2³ + 4,8 * 2) - (-0,4 * (-2)³ + 4,8 * (-2)) = 12,8
Wir haben in m gerechnet, deshalb beträgt der Flächeninhalt der Parabel und damit - zurück zur eigentlichen Aufgabe - des Tors 12,8m².
Für den zu bemalenden Flächeninhalt gilt dann:
80m² - 12,8m² = 67,2m²
Ein Quadratmeter soll 25€ kosten, dann kostet die Malerei insgesamt
67,2m² * 25€ = 1680€
die zu streichende Fläche ist A=große Fläche - Parabelfläche=Ag-Ap
Ag=(2+4+2)*10=80m^2
Scheitelpunktform der Parabel y=f(x)=a*(x-xs)^2+ys
Wir legen ein x-y-koordinatensystem in der Mitte der Parabel.
aus der zeichnung lesen wir ab ys=4,8 m und xs=0
Nullstellen bei x1=-2 und x2=2
Werte eingesetzt f(x)=a*x^2+4,8
mit Nullstelle bei x=2 ergibt f(2)=0=a*2^2+4,8 ergibt
a=-4,8/4=-1,2
Funktion der Parabel f(x)=-1,2*x^2+4,8
nun können wir die Fläche der Parabel berechnen
A=obere Grenze minus untere Grenze
untere Grenze ist xu=-2
obere Grenze xo=2
nun integrieren
F(x)=Integral(-1,2*x^2+4,8)*dx=-1,2*Int(x^2*dx+4,8 *Int(dx)
F(x)=-1,2/3*x^3+4,8/1*x+C
Konstantenregel konstanten können vor das Integralzeichen gezogen werden
Grundintegral Integral (x^k)=x^(k+1)*1/(k+1)
Die Integrationskonstante C muß immer angehängt werden
A=F(xo)-F(xu)
A=(-1,2/3*2^3+4,8*2) - (-1,2/3*(-2)^3+4,8*(-2))=6,4 - (-6,4)=6,4+6,4=
Ap=12,8 m^2
A=Ag-Ap=80m^2-12,8m^2=67,2m^2
also Angebot ist 67,2 m^2*25 Euro/m^2=1680 Euro
Integralrechnung hat Malermeister Husch nicht gelernt. Er rechnet so:
Die Fassade als Rechteck hat 10 m × 8 m = 80 m².
Die Fläche des Torbogens ist oval. Sie schaut ungefähr so aus wie das, was Husch in seinem Mathematikbuch für Maler und Lackierer unter "Ellipse" findet, d.h. wie eine Häfte davon.
Die Fläche der Ellipse ist Pi mal die Hälfte des kleinen Durchmessers mal die Hälfte des großen Durchmessers, also 3,14 × 2 m × 4,8 m = gut 30 m².
Die Fläche des Torbogens ist also 15 m².
Anzustreichen sind also 80 m² - 15 m² = 65 m².
Macht 65 × 25 € = 1625,-- €
plus 19% MwSt: 308,75 €
macht brutto 1933,75 €
https://www.gutefrage.net/frage/oval-berechnen#answer-28053004
Ich halte die Aufgabenstellung für problematisch, weil nicht gegeben ist, welche Form der Torbogen denn hat. möglich wäre ja neben der umgedrehten Parabel ax^2+b auch ax^4+b oder ax^6+b etc. oder noch besser a*cosh(x)+b (in der Realität würde ich das sogar für am wahrscheinlichsten halten)
Genaues Lesen der Aufgabe erspart die halbe Arbeit. Gefragt ist nicht "Berechnen Sie die exakte Fläche", sondern "welche Fläche wird der Malermeister seinem Angebot zugrundelegen"
Selbst wenn der Malermeister die Kurve berechnen könnte, wird er es nicht tun, vielmehr den Torbogen durch ein Dreieck von 5 m Höhe approximieren.
vielmehr den Torbogen durch ein Dreieck von 5 m Höhe approximieren.
Nö. Fenster und Türen werden nicht abgezogen.