Letzte Wahrscheinlichkeitsfrage?

Hallo, ich hätte es mit dem Log berechnet. Könntet ihr mir bitte die Gleichung vorgeben (mit Erklärung)

1. Wie oft muss ein idealer Würfel geworfen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 97 % mindestens einmal eine 6 fällt?

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

mindestens eine 6 ist das Gegenereignis von keine 6 (p=5/6).

Die müßte dann auf 3 % sinken.

Du rechnest also (5/6)^n=0,03 und löst das mit Hilfe des Logaritmus nach n auf.

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[Timski1]

Danke, hätte man das nicht auch mit einer Ungleichung lösen können <=

[Willy1729]

@Timski1

Ersetze das = durch <=. Kommt aufs Gleiche heraus.

[Timski1]

@Willy1729

Ok. Danke. Dann würde aber sich das < zum > umdrehen müssen, weil ich durch log(5/6) teilen müsste, oder?

[Willy1729]

@Timski1

Richtig. Ist ja auch logisch. Du kommst auf etwa 19,3 oder so.

19mal Würfeln wäre zu wenig, denn dann wäre die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu bekommen, noch bei über 3 %. 20mal ist etwas zuviel - aber es soll ja auch nicht genau 97 % sein, sondern mindestens 97 %.

[Willy1729]

Natürlich mußt Du das Ergebnis auf die nächste ganze Zahl aufrunden.

Answer 2

[mihisu]

Ich würde über das Gegenereignis gehen... „mindestens eine 6“ ist äquivalent zu „nicht keine 6“. Und die Wahrscheinlichkeit für „keine 6“ lässt sich einfacher berechnen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem einzelnen Wurf keine 6 fällt, beträgt 5/6. [Da 5 der 6 gleichwahrscheinlichen Ergebnisse zu diesem Ereignis passen.]

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Würfen jedes Mal keine 6 fällt, beträgt...

$\left(\frac{5}{6}\right)^{n}$

Umgekehrt beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Würfen mindestens einmal eine 6 fällt...

$1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}$

Diese Wahrscheinlichkeit soll nun mindestens 97 % betragen. Also...

$1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\geq 97\,\%$

Das kann man nun weiter nach n auflösen. Und ja, da wird dann ein Logarithmus gebraucht, um an den Exponenten n zu kommen.

======Ergänzung: Auflösen der Ungleichung======

$1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\geq 97\,\%$

$1-\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\geq 0\text{,}97$

[Addiere (5/6)^n und subtrahiere 0,97.]

$1-0\text{,}97\geq \left(\frac{5}{6}\right)^{n}$

$0\text{,}03\geq \left(\frac{5}{6}\right)^{n}$

[Tausche die Seiten.]

$\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\leq 0\text{,}03$

[Wende den (natürlichen) Logarithmus an.]
[Bemerkung: Man könnte auch Logarithmen zu anderen Basen verwenden. Aber ich verwende einfach den natürlichen Logarithmus ln.]

$\ln\left(\left(\frac{5}{6}\right)^{n}\right)\leq \ln\left(0\text{,}03\right)$

$n\cdot \ln\left(\frac{5}{6}\right)\leq \ln\left(0\text{,}03\right)$

[Dividiere durch ln(5/6). Beachte dabei, dass ln(5/6) negativ ist und sich daher das Relationszeichen umkehrt.]

$n\geq \frac{\ln\left(0\text{,}03\right)}{\ln\left(\frac{5}{6}\right)}$

Wertet man die rechte Seite numerisch aus, indem man diese beispielsweise einfach in einen Taschenrechner eingibt, erhält man...

$n\geq \frac{\ln\left(0\text{,}03\right)}{\ln\left(\frac{5}{6}\right)}\approx 19\text{,}23$

Dementsprechend muss der Würfel mindestens 20-mal geworfen werden.