Korrektes Ableiten einer e-Funktion?

Vorbereitung auf eine Klausur:

Die Funktion f(x)= (x^2-2x+1)e^(x/2) gilt es abzuleiten, um die Punkte des Graphen der Funktion f mit waagrechter Tangente (ergo der Steigung null) zu ermitteln. Im Folgenden angehängt sind mein (ernüchternder) Versuch unter Anwendung der Produkt- und Kettenregel und die vermeintliche Lösung nach einer App.

1. Versuch:

2. Lösung:

Was mache ich hinsichtlich des Berechnens falsch? (Ich kann es dem angezeigten Rechenweg des Programms nicht entnehmen, da dieses eine mir fremde Berechnungsweise heranzieht.)

Ich bitte um eine Korrektur meines Rechenweges (zum Abgleich bzw. Erklärung).

Vielen Dank für Eure Bemühungen!

FIRWESAN

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Anm.: Die abschließende Berechnung der Nullstellen mittels der ersten Ableitungsfunktion schaffe ich dann (hoffentlich) wieder selbst.

Answer 1

[mihisu]

Als ersten Schritt erhält man (im Wesentlichen wegen der Produktregel, wobei jedoch auch Kettenregel, etc. eine Rolle spielen)...

$f(x)=\underbrace{\left(x^2-2x+1\right)}_{g(x)}\cdot \underbrace{\text{e}^{\frac{x}{2}}}_{h(x)}$

$f(x)=\underbrace{\left(2x-2\right)}_{g'(x)}\cdot \underbrace{\text{e}^{\frac{x}{2}}}_{h(x)}+\underbrace{\left(x^2-2x+1\right)}_{g(x)}\cdot \underbrace{\frac{1}{2}\cdot\text{e}^{\frac{x}{2}}}_{h'(x)}$

Bei dir steht bei dem von mir mit g′(x) bezeichneten Teil nur 2, wo eigentlich 2x - 2 stehen müsste. Ich kann nicht nachvollziehen, wie du darauf gekommen bist, dort nur „2“ stehen zu haben.

====== Möglicher Rechenweg zum Vergleich: ======

$f(x)=\left(x^2-2x+1\right)\cdot \text{e}^{\frac{x}{2}}$

$\rightarrow\quad f'(x)=\left(2x-2\right)\cdot \text{e}^{\frac{x}{2}}+\left(x^2-2x+1\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot \text{e}^{\frac{x}{2}}$

$\rightarrow\quad f'(x)=\left(2x-2\right)\cdot \text{e}^{\frac{x}{2}}+\left(\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}\right)\cdot \text{e}^{\frac{x}{2}}$

$\rightarrow\quad f'(x)=\left(2x-2+\frac{1}{2}x^2-x+\frac{1}{2}\right)\cdot \text{e}^{\frac{x}{2}}$

$\rightarrow\quad f'(x)=\left(\frac{1}{2}x^2+x-\frac{3}{2}\right)\cdot \text{e}^{\frac{x}{2}}$

$\rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{2}\cdot \left(x^2+2x-3\right)\cdot \text{e}^{\frac{x}{2}}$

Für die Stellen mit waagrechter Tangente beim Graphen von f erhält man dann...

$f'(x)=0$

$\Leftrightarrow\quad \frac{1}{2}\cdot \left(x^2+2x-3\right)\cdot \text{e}^{\frac{x}{2}}=0$

$\Leftrightarrow\quad x^2+2x-3=0$

$\Leftrightarrow\quad x=-\frac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(-3\right)}$

$\Leftrightarrow\quad x=-1\pm\sqrt{1+3}$

$\Leftrightarrow\quad x=-1\pm\sqrt{4}$

$\Leftrightarrow\quad x=-1\pm 2$

$\Leftrightarrow\quad x=-1-2\ \text{ oder }\ x=-1+2$

$\Leftrightarrow\quad x=-3\ \text{ oder }\ x=1$

Die entsprechenden y-Koordinaten zu x₁ = -3 bzw. x₂ = 1 sind dann...

$y_1=f(x_1)=f(-3)=\left(\left(-3\right)^2-2\cdot \left(-3\right)+1\right)\cdot \text{e}^{\frac{-3}{2}}=16\cdot \text{e}^{-\frac{3}{2}}\approx 3\text{,}57$

$y_2=f(x_2)=f(1)=\left(1^2-2\cdot 1+1\right)\cdot \text{e}^{\frac{1}{2}}=0$

Die gesuchten Punkte sind demnach...

$\left(\,-3\,\middle|\,16\cdot \text{e}^{-\frac{3}{2}}\,\right),\quad \left(\,1\,\middle|\,0\,\right)$

Answer 2

[Halbrecht]

du machst es dir unnötig schwer

.

außerdem 

die Ableitung von e^(x/2) ist NICHT 2*e^(x/2)

.

f'(x) nicht gleich bilden ,sondern "brav" dieses tun :

u = (x² - 2x + 1)

u' = (2x -2)

v = e^(0.5x)

v' = 0.5*e^(0.5x)

.

nun in u*v' + u'v einsetzen

man liest "stumpf" ab

(x² - 2x + 1)*0.5*e^0.5x

+

(2x-2)*e^0.5x

.

Zur Sicherheit erst die 0.5 in die Klammer

(0.5x² - x + 0.5)*e^0.5x

und nun erst e^0.5x ausklammern

.

e^0.5x * (0.5x² - x + 0.5 + 2x -2) =

e^0.5x * (0.5x² + x - 1.5)

man kann , muss aber nicht noch 0.5 ausklammern , um x² solo stehen zu haben . Dann muss man bei der Suche der Lösungen von f'(x) = 0 nicht noch durch 0.5 teilen

.

Comments

[FIRWESAN]

Vielen Dank für die umfängliche Antwort.

Hinsichtlich dessen liegt jedoch ein Missverständnis vor:

die Ableitung von e^(x/2) ist NICHT 2*e^(x/2)

Meine Ableitung davon war, wie bereits von dir aufgezeigt, 0,5*e^(0.5x) (am anderen Ende stehend).

Worauf du dich beziehst, war mein "Versuch" einer Ableitung der Klammer (x²-2x+1) nach der Kettenregel, dieser Gedankengang lag dem zu Grunde: Nach der Kettenregel gilt f(x)=(mx+c)^a --> f´(x)=m*a*(mx+c)^a; in besagtem Falle ist a=1 und m=2, wobei die Klammer jedoch (aufgrund des "hoch Nulls") auf eine 1 reduziert wird: 2*1*(x²-2x+1)^0=2.

Ich weiß zwar, dass es falsch ist, jedoch weiß ich noch nicht so genau, warum (hier das hier nicht anwendbar/ falsch angewendet wurde).

Könntest du mir kurz einen Denkanstoß geben?

FIRWESAN