Könnte mir das jemand bitte erklären?(Grauß Verfahren-Lineare Gleichungssysteme)?

Ich habe Probleme, eine Textaufgabe zu verstehen. Ich verstehe die Frage grob, nämlich wie man den Grad berechnet und warum man b ausschließt und die Höhe auch. Den Rest verstehe ich jedoch überhaupt nicht.

hier die Aufgabe aus dem Buch: (6)

und hier die Lösung:

Danke im Vorraus!!

Answer 1

[GuteAntwort2021]

Hallo.

Der Grad ist mit 2 vorgegeben, also einfach eine quadratische Funktion.

Die Normalform einer Parabel?

$f\left(x\right)\ =\ ax^2\ +\ bx\ +\ c$

Nun gibt es mehrere Ansätze wie man es lösen kann, allerdings wird es am einfachsten, wenn man x=0 in die Mitte der Parabel setzt, die beiden Nullstellen also jeweils links und rechts gleich weit vom Koordinatenursprung sind.

Wenn die Breite mit 12 Metern angegeben ist, dann wären die beiden Nullstellen bei x=-6 und x=6 zu finden. Und die Höhe von 18 Metern bei x=0. Das gibt dir direkt 3, bzw. sogar 4 Punkte, wenn wir den Extremwert der ersten Ableitung mit einschließen.

$f\left(-6\right)\ =\ 0$ $f\left(6\right)\ =\ 0$ $f\left(0\right)\ =\ 18$ $f'\left(0\right)\ =\ 0$

Nun setzt du einfach nur noch in die Normalform ein um a, b und c aufzulösen:

$\left(-6\right)^2\ \cdot\ a\ +\ \left(-6\right)\cdot b\ +\ c\ =\ 0$ $6^2\ \cdot\ a\ +\ 6\ \cdot\ b\ +\ c\ =\ 0$ $0^2\ \cdot\ a\ +\ 0\ \cdot\ b\ +\ c\ =\ 18$

Wenn du dir die 3te Gleichung anguckst, kannst du c direkt mit 18 auflösen, denn 0 mal irgendwas ist immer 0.

Wenn du das c dann in die ersten beiden Gleichungen einsetzt und einfach die Gleichungen addierst (-6b + 6b = 0b), dann bekommst du

$72a\ +\ 36\ =\ 0$

Das aufgelöst führt zu a = -0,5.

Also

$f\left(x\right)\ =\ -0,5x^2\ +\ 18$

Aber natürlich könntest du auch eine andere Parabel bestimmen, die diese Anforderungen erfüllt. Zum Beispiel in dem du die Nullstellen bei x=0 und x=12 ansetzt und den Hochpunkt bei x=6.

$0^2a\ +\ 0b\ +\ c\ =\ 0$ $144a\ +\ 12b\ +\ c\ =\ 0$ $36a\ +\ 6b\ +\ c\ =\ 18$

Dann kannst du c direkt mit 0 auflösen und einsetzen und bekommst:

$144a\ +\ 12b\ =\ 0$ $36a\ +\ 6b\ =\ 18$

Und das könntest du nun auf dir jede bekannte Methode lösen. Zum Beispiel erste Gleichung durch 12, zweite Gleichung durch 6, nach b umstellen und gleichsetzen. Oder zweite Gleichung mit -2 multiplizieren und dann das Additionsverfahren:

$36a\ +\ 6b\ =\ 18\ \ \mid\ \cdot\ \left(-2\right)$ $-72a\ -\ 12b\ =\ -36$ ................

$72a\ =\ -36$ $a\ =\ -0,5$ ................

$36\ \cdot\ \left(-0,5\right)\ +\ 6b\ =\ 18$ $-18\ +\ 6b\ \ =\ 18$ $6b\ =\ 36$ $b\ =\ 6$

Du könntest also auch einfach sagen:

$f\left(x\right)\ =\ -0,5x^2\ +\ 6x$

Das würde ebenfalls die Form der Brücke beschreiben.

Ich hoffe, das war hilfreich und du verstehst es nun besser.

LG

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Answer 2

[jjsch5]

Breite = 12m -> NST -6 und 6

Höhe = 18m -> additive Konstante = 18

ax² + 18 = y

a • 6² + 18 = 0

a • 36 = -18

a = -0.5

y = -0.5x² + 18

Woher ich das weiß: Hobby – Schule & Studium

Answer 3

[Halbrecht]

ein geeignetes KO-System legt hier den Ursprung in 0/0 

Daher kein b , aber a und c 

.

Die Höhe ist nicht !!!!! ausgeschlossen . Sie ist beim SP 

f(x) = a(x-xsp)² + ysp

Scheitelpunkt bei (0/18)

.

f(x) = a*(x-0)² + 18

.

Nun (-6/0) oder (6/0) für a nutzen

.

0 = a(6²) + 18 

-18/36 = a = -1/2