Kann mit drei Punkten auf einer Kugeloberfläche ihre Größe berechnet werden oder braucht man vier dazu??
4 Antworten
Drei Punkte definieren eine Ebene, damit läßt sich keine Kugel vollständig definieren und damit auch die Oberfläche nicht berechnen. Eine Kugel wird durch vier Punkte definiert, die nicht alle in der gleichen Ebene liegen dürfen.
Wenn die Punkte auf einem Kreis liegen, reichen sogar unendlich viele nicht. Denn der Kreis könnte einen beliebigen Schnitt durch die Kugel darstellen:
Die Besonderheit bei 3 Punkten ist, dass sich immer ein solcher Kreis finden lässt. Bei 4 nicht unbedingt.
Edit: Wie Roll richtig geschrieben hat, lässt sich das daran erkennen, ob sie in einer Ebene liegen oder nicht.
Denn Punkte die zu einer Kugel gehören und in einer Ebene liegen, bilden zwangsläufig einen Kreis. Und Punkte, die nicht in einer Ebene liegen, können keinen Kreis bilden.
Wenn ich drei Punkte habe, kann ich darauf unterschiedlich große Kugel ablegen.
Die Kugelgleichung um den Mittelpunkt (a,b,c) und dem Radius r lautet:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²
Verschiebt man den Mittelpunkt auf den Nullpunkt, verbleibt:
x² + y² + z² = r²
Mit dieser Voraussetzung genügt ein einziger Punkt (x,y,z) auf der Kugeloberfläche, um den Radius r zu bestimmen. Die Kugel ist dann eindeutig bestimmt.
Ist der Mittelpunkt (a,b,c) unbekannt, hat die obere Gleichung bis zu vier Unbekannte a,b,c,r (oder weniger, wenn die Werte a,b,c,r teilweise bekannt sind). Dann braucht man bis zu vier Punkte (x,y,z), um die Kugelgleichung zu lösen. Außerdem dürfen diese Punkte nicht auf einem Schnittkreis mit der Kugeloberfläche liegen, ansonsten sind bestimmte Gleichungen redundant (ähnlich einer linearen Abhängigkeit).