Kann mir jemand bei dieser Matheaufgabe helfen?
Aufgabe:
Es gibt ein rechteckiges Billardfeld mit den Seitenlängen a, b ∈ N.
Die Kugel wird in der linken unteren Ecke unter einem Winkel von 45° losgeschossen. Sie wird reflektiert und rollt ohne Reibungsverlust über das Feld, bis sie in eine Ecke kommt; dort fällt sie in das dort vorhandene Loch.
Zeigen Sie, dass es für die Seitenlänge b = 2a + 1 genau 3a Züge braucht. Ein Zug meint dabei, wenn sich die Kugel geradlinig bewegt bis sie wieder durch eine Reflektion ihre Richtung ändert
Ich habe schon einige Wege probiert mit Fallunterscheidungen, irgendwie die Formel umzustellen oder mit den Reflektionspunkten zu argumentieren, aber ich komme nicht weiter. Kann mir da jemand helfen?
2 Antworten
Ein paar Gedanken zur Aufgabe:
Die "+1" bewirkt, dass der Auftreffpunkt - unabhängig davon, wie groß a ϵ N ist - auf der gegenüberliegenden Bande jeweils um eine Einheit verschoben wird. Der Weg zur gegenüberliegenden Bande umfasst wegen b = 2a + 1 stets 3 Züge.
Bei a = 2 muss der Auftreffpunkt auf der jeweils gegenüberliegenden Bande also 2 mal um jeweils eine Einheit verschoben werden, damit die Kugel wieder eine Ecke trifft, das macht 2 * 3 = 6 Züge.
Bei a = a muss der Auftreffpunkt also a mal um jeweils eine Einheit verschoben werden, das macht a * 3 Züge.
Eine mögliche Lösung des Problems besteht darin eine "Abwicklung" des Billardtisches in die b-Richtung zu entwickeln. Dann gibt es nur noch oben und unten Reflexionen, die leichter abzählbar sind.
Das Loch wird dann erreicht, wenn das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b erreicht werden. Beispiel kgV(4,9) = 36. Man kann hier getrost mit dem Produkt weiter arbeiten. Die Anzahl der Züge bei einem "verlängerten" Billardtisch beträgt dann
Im abgebildeten Beispiel wären das 9 Züge.
Nun kommen aber noch zusätzlich Züge hinzu, die am linken und rechten Tischrand erfolgen. Hierzu brauchen nur die Übergänge an den blauen Verlängerungsgrenzen ausgezählt zu werden. Im allgemeinen gilt:
Zählt man beide Zugereignisse zusammen dann erhält man
a*b steht für das kleinste gemeinsame Vielfache. Im gezeichneten Beispiel sind das 36 Kästchen. Daraus berechnet man die Anzahl der roten Zügen, wenn man 36 durch 4 teilt. 36/4=9 Züge.
Vielen Dank. Nur eine Nachfrage. Wie kommt man auf die Formel n=a*b/a