Kann man im Ausland TÜV für sein deutsches Fahrzeug machen?

nein, die Prüfung muss in DE gemacht werden, im Ausland kann man die dortige technische Prüfung machen (wenn der TÜV abgelaufen ist), damit man in dem Ausland keine Probleme bekommt, später in DE die TÜV-Untersuchung nachholen.

Theoretisch kann man in Eu staaten auch TÜV sowie den Führerschein machen, allerdings kann es sein, dass die gesetzte in dem land komplett anderst sind und dann nicht anerkant wird. Das kommt dann auf das EU land an, aber bei den meisten sollte die Funktioniren.

MAn braucht auch kein neues TÜV, wenn man durch das Ausland fährt, wenn man nur deutsch TÜV hat.

Nein resp. heisst das anders in anderen Länder und wird in Deutschland nicht anerkannt.

Als Beispiel, haben ein Auto von der Schweiz nach Deutschland umgemeldet, das Auto hatte erst vor paar Monaten in der Schweiz die MFK (TÜV) bestanden, musste dann aber in Deutschland nochmals abgenommen werden, da die Schweizer Prüfung nicht zugelassen ist.

es gibt keinen "Ausland TÜV"

Unter bestimmten Umständen geht das, wenn ich das richtig verstanden habe: https://www.motor-talk.de/forum/anerkennung-von-eu-tuev-in-deutschland-t6381288.html