Ist f(X)=0/X eine gebrochen rationale Funktion?
Zählt es bei so Aufgaben, wo ich mir eine gebrochen rationale Funktion ausdenken soll, wenn ich f(X)=0/X hinschreibe? Also wenn es ansonsten zur Aufgabe passt natürlich.
8 Antworten
f(x)=0/x erfüllt alle Voraussetzungen einer gebrochenrationalen Funktion.
Zählt es bei so Aufgaben
Eindeutig! Selbst f(x)=0 müsste gelten, wobei da der Einwand kommen könnte, dass die Aufgabe nur solche Funktionen meinte, die nicht ganzrational sind. Das artet dann schnell in Paragraphenreiterei aus. Deine Funktion f lässt sich aber bestenfalls zu einer ganzrationalen Funktion g fortsetzen. Das müsste auch einem eingefleischten Korinthenkacker einleuchten.
Im Allgemeinen ist es unpraktisch, bei einer Erweiterung einer Klasse die Originalklasse auszuschließen, denn das zerstört in der Regel viele schöne Eigenschaften (Abgeschlossenheit bei Addition, Multiplikation, Verkettung, ...). So ist also jedes Quadrat ein Rechteck, und 1 ist eine komplexe Zahl. Wer etwas anderes meint, muss das explizit dazu schreiben.
Das ist keine Funktion, man kann nicht durch 0 teilen
es sollte gesellschaftlich verpönt sein, das anzunehmen
Das ist keine Funktion. Der Funktionsterm X/0 ist nämlich an keiner Stelle definiert. Division durch 0 ist nicht definiert.
Das kommt ein wenig darauf an, wie ihr gebrochen-rationale Funktionen definiert habt.
Ich persönlich würde dann sagen... Ja, es handelt sich dabei um eine gebrochen-rationale Funktion. Denn man kann die Funktion als Quotient der durch 0 und durch X gegebenen ganzrationalen Funktionen darstellen. Dabei beziehe ich mich auf folgende Definition...
====== Definition 1 ======
Eine Funktion f nennt man gebrochen-rational, wenn sie als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen darstellbar ist. D. h. es gibt ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) p und q, so dass f(x) = p(x)/q(x) für alle x im Definitionsbereich von f ist.
====== Ende von Definition 1 ======
Es gibt jedoch auch Mathematiker, die zwischen rationalen Funktionen und gebrochen-rationalen Funktionen unterscheiden. Eine entsprechende Definition wäre...
====== Definition 2 ======
Eine Funktion f nennt man rational, wenn sie als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen darstellbar ist. D. h. es gibt ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) p und q, so dass f(x) = p(x)/q(x) für alle x im Definitionsbereich von f ist.
Wenn solch eine Darstellung nur mit einem Grad von q von mindestens 1 möglich ist (es sich also nicht um eine ganzrationale Funktion handelt), so nennt man f gebrochen-rational.
====== Ende von Definition 2 ======
Entsprechend Definition 2 wäre die durch f(X) = 0/X beschriebene rationale Funktion nur eine rationale Funktion, aber nicht eine gebrochen-rationale Funktion. Denn man könnte f(x) auch als f(x) = 0/1 mit Grad 0 beim durch q(x) = 1 gegebenen Nennerpolynom darstellen.
Da kann man schon Unterschiede sehen. Sei es hinsichtlich der Darstellungsform, oder aber auch hinsichtlich des möglichen Definitionsbereichs.
====== Hinsichtlich der Darstellung ======
0/x ist als Bruch dargstellt, 0 ist nicht als Bruch dargstellt. Insofern könnte man von einem Unterschied sprechen.
====== Hinsichtlich des möglichen Definitionsbereichs ======
Bei den Funktionen...
f: ℝ∖{0} → ℝ, f(x) = 0/x
f: ℝ∖{0} → ℝ, f(x) = 0
... handelt es sich um die gleiche Funktion. Insofern ist da kein Unterschied (außer eben in der Darstellungsform, wie man die Funktionen aufgeschrieben hat).
ABER...
f: ℝ → ℝ, f(x) = 0/x
ist nicht wohldefiniert, da man ein Definitionsproblem für x = 0 hat. Im Vergleich dazu ist jedoch
f: ℝ → ℝ, f(x) = 0
wohldefiniert.
Insofern hat man da also doch einen gewissen Unterschied, da man beispielsweise bei „f: ℝ → ℝ, f(x) = 0“ nicht einfach so das „f(x) = 0“ durch „f(x) = 0/x“ ersetzen kann.
wenn ich f(X)=X/0 hinschreibe?
... wenn Du das hinschreibst, begehst Du einen schweren mathematischen Fehler.
Tut mir leid. Ich meine 0/X. Mittlerweile wurde es geändert
Da wir ja nun festgestellt haben, dass f(x) = x/0 keine gebrochene Funktion darstellt sondern eher, dass das ein Term ist, bei dem man sich erbrechen kann.
f(x) = 0/x entspricht f(x) = 0 und stellt demnach eine Funktion (aber keine gebrochene) dar. Jedem x wird genau eine Zahl, nämlich 0, zugeordnet.
f(x) = 0/x entspricht f(x) = 0
Eben nicht. f(X) = 0/X hat eine hebbare Definitionslücke bei 0. Die hat f(X) = 0 nicht.
Jetzt verstehe ich deine Frage. Habe nach der Definition gesucht, und demnach darf der Zähler nicht 0 sein (aber ohne Gewähr)
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/gebrochenrationale-funktionen
Tut mir leid hab die Zahlen vertauscht. Ich meinte 0/X