Gebrochen rationale Funktionen?
Hey,
wir haben letzte Woche in der Schule die Funktionen den Graphen zugeordnet. Jedoch weiss ich nicht mehr wie wir das gemacht haben. Wie muss ich denn da vorgehen? Kann mir da jemand helfen? Wär super lieb dankeschön! (brauch das morgen)
VG :)
2 Antworten
Als erstes Ausschlusskriterium schaut man sich z. B. die Definitionslücken an. Tja, dummerweise ist hier bei allen die Def.-Lücke bei x=-2, bringt also nicht weiter.
Also betrachtet man als nächstes z. B. das Grenzwertverhalten im Unendlichen (waagerechte Asymptote). Hier ist bei A, B, und C der Grenzwert Null, d. h. der Zählergrad ist bei diesen Funktionen kleiner als der Nennergrad. D hat hier als einzige Funktion eine Asymptote bei x=1/5, d. h. Zähler- und Nennergrad müssen gleich sein und deren führende Koeffizienten (die, die zur höchsten Potenz gehören) ergeben 1/5; das ist bei g, h, k und r der Fall: h und r fallen raus, weil man hier (x+2) komplett kürzen kann, d. h. hier gibt es keine Polstellen, sondern (be-)hebbare Def.-Lücken. Um nun rauszufinden ob g oder k die passende Funktion ist, muss man hier das Grenzwertverhalten an der Def.-Lücke testen, d. h. Du setzt einen Wert knapp vor und knapp hinter der Lücke in den Funktionsterm ein und prüfst das Vorzeichen. Bei g) kommt für x<-2 (z. B. x=-2,1) ein negativer Wert raus, für z. B. x=-1,9 ein positiver; also genau umgekehrt zum gezeigten Graphen. Bei Funktion k passt es!
Nun bleiben noch A, B und C: laufen die Grenzwerte links und rechts Richtung Lücke in dieselbe y-Richtung, dann muss der Nenner quadratisch sein (bzw. der Nennergrad gerade). D. h. für A und C kommen nur j, t und z in Frage (r fällt ja wie bereits geschrieben raus). Der Nenner ist bei allen 3 Funktionen immer positiv, d. h. es kommt hier nur auf den Zähler an: und hier ist nur j um x=-2 herum negativ, d. h. hier gehört Funktion j zum Graphen A.
Die Funktionen t und z sind die Vorzeichen von Zähler und Nenner jeweils positiv, d. h. deren Graphen laufen für x->-2 gegen plus-unendlich. Hier muss man nun noch eine weitere Stelle des Graphen testen, z. B. bei x=-1; hierbei gilt t(-1)=1/5 und z(-1)=3/5. D. h. hier passt nach Augenmaß wohl eher Funktion z zum Graphen C statt Funktion t.
Hinweise:
g(x) hat bei x = -3 eine Nullstelle. Der Graph kommt nicht vor.
t(x) hat bei x = 0 eine Nullstelle. Der Graph kommt auch nicht vor.
Bei h(x) kannst Du 5 im Nenner ausklammern, dann steht im Zähler und im Nenner jeweils (x + 2). Das ergibt eine Gerade und zwar g(x) = 1 / 5 für x ≠ -2.
Entsprechend ergibt r(x) = 1 / 5 für x ≠ -2, also auch eine Gerade.
So verbleiben nur noch 4 Funktionsgleichungen für die 4 Graphen, die Du nur noch zuordnen musst.
Unterschiede gibt es im Verhalten der Graphen, wenn man sich der -2 nähert.