Integral - Beweisführung?

Wenn ich die Konvergenz eines Integrals auf einem Intervall zeigen soll. Kann ich die Integralfunktion dann beliebig um eine Konstante nach oben oder unten verschieben und dann mit dem Minorantenkriterium argumentieren?

Ich meine insbesondere das Integral

$\int_{0.5}^{^1}\frac{1}{\ln\left(x\right)}dx$

Hier möchte ich mit der Divergenz vom Integral

$\int_{0.5}^1\ \frac{1}{1-x}dx$

argumentieren und dann deswegen -1/ln(x)+1 als Funktion betrachten. Die ist überall größer als g(x), positiv und deswegen greift das Minorantenkriterium. Das Integral muss divergieren, aber dann muss

$\int_{0.5}^1-\frac{1}{\ln\left(x\right)}+1\ dx\$ divergieren und es gilt

$=\int_{0.5}^1\frac{-1}{\ln\left(x\right)}dx+\int_{0.5}^1\ 1\ dx$

und dann muss das linke Integral divergieren, weil das rechte nicht divergiert. $0<x<1:-\frac{1}{\ln\left(x\right)}+1<\frac{1}{^{1-x}}\Leftrightarrow\ x-1+\left(1-x\right)\cdot\ln\left(x\right)<\ln\left(x\right)$

Answer 1

[eterneladam]

Vielleicht solltest du die beiden uneigentlichen Integrale als das schreiben, was sie sind, nämlich Grenzwerte. Dann kannst du die Folgenglieder zweier Folgen vergleichen und daraus Schlussfolgerungen für die Grenzwerte ziehen.

Answer 2

[TBDRM]

Stimmt so.

Ist gezeigt, dass ein Integral über eine Funktion f divergiert und man die Funktion f in zwei Funktionen g und h additiv teilt, wobei das Integral über h gegen eine Zahl k konvergiert, dann muss das Integral über g divergieren.

Beweis (zumindest denke ich es):

Da f positiv ist, gilt

0 < f(x)

also insbesondere nach Integrieren für jede positive Zahl n dann

n < Int f(x) dx

n < Int g(x) + h(x) dx

n < Int g(x) dx + Int h(x) dx

n < Int g(x) dx + k

n – k < Int g(x) dx

Setzt man m := n – k kann zu jeder Zahl m ein n finden, sodass man

m < Int g(x) dx

schreiben kann. m kann beliebig groß werden, also kann das Integral über g nicht konvergieren.

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)