Beispielaufgabe für Divergenz beim Newton-Verfahren?
Hi,
weiß von euch jemand vielleicht eine (einfache) Funktion, die, wenn man sie mit dem Newton-Verfahren berechnet, divergiert? In Wikipedia hatte ich schon das Beispiel f(x)= sin(x) mit f´(x)= cos(x). Aber da kann ich es überhaupt nicht nachvollziehen, wie man später auf "arctan(-2pi)" kommt. Vielleicht irgendeine ganzrationale Funktion, die sehr leicht verständlich ist? Beispielsweise mit f(x)= ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f (Natürlich ist das nur eine ausgedachte Funktion, die definitiv nicht divergieren wird) Aber so auf dem Niveau eben.
1 Antwort
Wenn sie nicht unbedingt eine Nullstelle haben muss - für f(x) = x² + 1 divergiert notwendigerweise jedes Verfahren zur Nullstellenermittlung (sofern es sich um ein Verfahren handelt, dass den Bereich der reellen Zahlen nicht verlässt und als Startwerte nur reelle Zahlen hat, natürlich).
Für Polynome ab 3. Grades mit einem lokalen Minimum / Maximum gibt es Startwerte, bei denen das Newton-Verfahren immer hin- und herspringt. (Hab mal versucht, ein Beispiel zu finden, das ist aber nicht ganz einfach.)
Das mit dem Arcustangens kommt dadurch zustande, dass der Sinus mehrere Nullstellen hat. Wenn man zu weit von einer Nullstelle entfernt anfängt, kann man bei einer anderen landen. Darum geht es in dem Beispiel, das auch hier erwähnt wird:
https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren#Beispiele_f.C3.BCr_Nicht-Konvergenz
Jetzt habe ich doch noch eine Funktion gefunden, wo das Newton-Verfahren bei bestimmten Startwerten gegen keine Nullstelle konvergiert:
f(x) = x / (x² + 1)
für Startwerte x0 > 1