Hilfe beim Lösen quadratischer Gleichung c = 0?
Hallo. Ich bin auf das richtige Ergebnis gekommen, aber im Lösungsheft wird ein anderer Lösungsweg angeschrieben. Ich will nur wissen wie man auf den anderen Lösungsweg kommt (siehe Bild).
Angabe:
Ein parabelförmiger Brückenbogen kann durch h(x) = -0,04 * x^2 + 0,8 * x beschrieben werden.
x … horizontale Entfernung vom Brückensockel
h(x) … Höhe des Brückenbogens über dem Sockel in m
a) Berechnen Sie die Spannweite des Brückenbogens.
b) Ermitteln Sie die maximale Höhe.
Meine Lösung:
Also ich habe einfach die Lösung von a) durch 2 geteilt um auf die max. Höhe zu kommen. Dann habe ich eingesetzt und hatte die 4m. (Spannweite/2, x = 10, Einsetzen in die Gleichung y = 4)
Aber (siehe Bild) im Lösungsheft wird’s anders berechnet. Woher kommen da die + 100 und +4? Ich erkenne da die binomische Formel aber die Zahlen verwirren mich. Wer kann mir helfen? Danke
Ich will bitte keinen anderen Lösungsweg, sondern nur eine Aufklärung für die Lösung im Buch! für b)
2 Antworten
Also ich habe einfach die Lösung von a) durch 2 geteilt um auf die max. Höhe zu kommen.
Das ist im Allgemeinen eine falsche Vorgehensweise, um den Scheitelpunkt zu berechnen.
Woher kommen da die + 100 und +4?
Bei dem ganzen Term wurde –0,4 ausgeklammert. Wenn du das Distributivgesetz amwendest, siehst du, dass es das gleiche ist.
Hier siehst du es vielleicht eher.
h(x) = –0.04 x² + 0.8 x
= –0.04 x² + (–0.04) * 0.8 / (–0.04) x
= –0.04 x² + (–0.04) * (–20) x
= –0.04 (x² + (–20) x)
= –0.04 (x² + 2 * (–10) x + 0)
= –0.04 (x² + 2 * (–10) x + (–10)² – (–10)²)
= –0.04 ((x + (–10))² – (–10)²)
= –0.04 ((x – 10))² – 100)
= –0.04 (x – 10)² – (–0.04) * 100
= –0.04 (x – 10)² + 4
Ich habe die –20x als 2*(–10)x geschrieben.
So erkennt man schnell, dass bei der binomischen Formel (a+b)²=a²+2ab+b² das a das x und das b die –10 sind, wenn man dann noch die quadratsiche Ergänzung hinzunimmt.
Okay die nächste Zeile habe ich auch kapiert. Binomische Formel. Woher dann jedoch die ganzen 10er hoch 2? :[
Du musst es dir so klarmachen.
Wir haben herausgefunden, dass bei
(a + b)² = a² + 2 a b + b²
wir x=a und b = –10 setzen müssen.
Dann erhalten wir
x² + 2 x (–10) + (–10)².
In unserer Rechnung haben wir aber nur
x² – 20 x
= x² + 2 x (–10)
also fehlt noch das (–10)².
Das können wir aber hinzufügen, indem wir es auch wieder wegnehmen. Wir addieren mit der "schlauen Null", denn (–10)² – (–10)² = 0.
x² + 2 x (–10)
= x² + 2 x (–10) + (–10)² – (–10)²
Nun können wir die binomische Formel anwenden und erhalten
(x + (–10))² – (–10)²
= (x – 10)² – 100
a) Die Spannweite des Brückenbogens entspricht der Distanz zwischen den beiden Punkten, an denen die Höhe des Bogens null ist. Mathematisch ausgedrückt ist dies die Nullstelle der Funktion h(x).
Um die Nullstellen zu finden, setzen wir h(x) = 0 und lösen die quadratische Gleichung nach x auf:
-0,04 * x^2 + 0,8 * x = 0
x * (-0,04 * x + 0,8) = 0
Die Lösungen dieser Gleichung sind x = 0 und x = 20. Da der Brückenbogen symmetrisch ist, beträgt die Spannweite also 20 m.
b) Die maximale Höhe des Brückenbogens entspricht dem Scheitelpunkt der Parabel. Um diesen zu finden, können wir die Ableitung der Funktion h(x) bilden und die Nullstelle der Ableitung bestimmen:
h'(x) = -0,08 * x + 0,8
h'(x) = 0 für x = 10
Dies bedeutet, dass der Scheitelpunkt des Brückenbogens bei x = 10 liegt. Wir setzen x = 10 in die Funktion h(x) ein, um die maximale Höhe zu berechnen:
h(10) = -0,04 * 10^2 + 0,8 * 10 = 4 m
Also beträgt die maximale Höhe des Brückenbogens 4 m.
Dankeschön, aber was ist dann mit der 100 und 4 in der Lösungsangabe?
Okay, -0,04 herausheben. Da bin ich noch dabei. Bis -0,04 (x^2 - 20x).
Was du dann gemacht hast verstehe ich leider nicht. Hast du dann noch mal etwas herausgehoben…?¿