Hat jemand Tipps zum Beweis dieser Mengengleichheit?
ich muss als Hausaufgabe folgende Mengengleichheit zeigen:
u: Vereinigung
$: Schnittmenge
(AuB) $ (AuC) $ (BuC) = (A $ B) u (A $ C) u (B $ C)
Ich weiß einfach nicht, wie ich anfangen soll, ein Ansatz oder irgendeine Idee würden mir schon helfen. Ich würde mich riesig über jegliche Hilfe freuen.
3 Antworten
Wie meinst du das mit Mengengleichheit "lösen"? Du meinst man soll diese Gleichheit zeigen?
Dazu würde ich einfach eine entsprechende Wahrheitstafel erstellen:
Aufgrund der Übereinstimmung der letzten beiden Spalten kann man erkennen, dass ein Element x genau dann in der einen Menge liegt, wenn es auch in der anderen Menge liegt. Die beiden Mengen sind demnach gleich.
Das kommt ganz darauf an, was du bereits kennst. Man könnte die linke Seite der Gleichung beispielsweise durch Anwendung entsprechender Rechenregeln solange umformen, bis man die rechte Seite dastehen hat. Das wäre mir aber persönlich zu anstrengend.
https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre#Gesetzmäßigkeiten
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Die Idee hinter den Wahrheitstafeln ist eigentlich ganz einfach. (Die Wahrheitstafeln stellen das nur in einer schön übersichtlichen Form dar.) Man möchte zeigen, dass ein Element x genau dann in der linken Menge liegt, wenn es in der rechten Menge liegt. Dann sind die linke und die rechte Menge nach Definition gleich.
Nun kann x entweder in A liegen (die ersten 4 Zeilen in der Wahrheitstafel), oder nicht in A liegen (die letzten 4 Zeilen in der Wahrheitstafel). Diese beiden Fälle kann man weiter unterteilen, indem man als Unterfälle unterscheidet, ob x in B oder nicht in B liegt. Genauso kann man unterscheiden ob x in C liegt, oder nicht. Dies führt zu den 8 Fällen, die den einzelnen Zeilen in der Wahrheitstafel entsprechen.
Im 1. Fall ist beispielsweise x in A und x in B und x in C. Nun möchte man wissen, ob x in der linken Menge liegt, und ob x in der rechten Menge liegt. Dazu habe ich zunächst als Zwischenschritt aufgeschrieben, ob x in (AuB) bzw. (AuC) bzw. (BuC) bzw. (A$B) bzw. (A$C) bzw. (B$C) liegt, um dann festzustellen ob x in der linken bzw. rechten Menge liegt. In diesem 1. Fall liegt x gleichermaßen in der linken und der rechten Menge.
So geht man auch die restlichen 7 Fälle durch und sieht am Ende, dass x genau dann in der linken Menge liegt, wenn x in der rechten Menge liegt. Damit ist die Mengengleichheit dann gezeigt.
Ich würde erst mal eine Skizze zeichnen und mich davon überzeugen, dass die Gleichheit tatsächlich gilt. Vielleicht kommen dir durch Anschauen der Skizze auch irgendwelche Ideen, wie man die Gleichheit beweisen könnte.
Hab ich schon probiert. Die Gleichheit stimmt auch, aber weiergebracht hats mich nicht, trotzdem vielen Dank.
Nun, vielleicht versuchst du die Menge aus möglichst kleinen Mengen zusammenzusetzen, die sich nicht schneiden, und versuchst dann zu zeigen, dass sowohl die Menge auf der linken Seite der Gleichheit als auch die Menge auf der rechten Seite sich aus den gleichen kleineren Mengen zusammensetzen lassen. Auch dabei hilft die Skizze.
Hi,
für diese Aufgabe habe ich vor ein paar Stunden einen Lösungsvorschlag gegeben.
Gruß
Danke schon mal für die Antwort. Wahrheitstafeln hatten wir noch gar nicht. Kann man das vlt auch irgendwie anders lösen?