Funktioniert dieser Beweis - Funktionskonvergenz?

Ich fokussiere mich zunächst nur auf den Teil der Diff'barkeit von x.

$\mid\mid f_n-f\mid\mid_{\infty}\rightarrow0\ \Leftrightarrow\ \forall\epsilon>0\ \exists\ n_0\in\mathbb{N}\ s.d.\ _{x\in\left(a,b\right)}^{\ \ \sup}\left(f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right)<\epsilon\ \forall\ n\ge n_0$ $\Rightarrow\ \forall\ x\in\left(a,b\right):\ \left|f_n\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon\ \forall\ n\ge n_0$ $\Rightarrow\ f\left(x\right)\in\left(f_n\left(x\right)-\epsilon,\ f_n\left(x\right)+\epsilon\right)$ $\Rightarrow\ f\left(x\right)-f\left(x_0\right)<f_n\left(x\right)+\epsilon-\left(f_n\left(x_0\right)+\epsilon\right)=f_n\left(x\right)-f_n\left(x_0\right)$ $f_n\text{diffb.}\ \Rightarrow_{x\rightarrow x_0}^{\ \lim}\frac{f_n\left(x\right)-f_n\left(x_0\right)}{x-x_0}\in\mathbb{R}$ und da f(x)-f(x0)<... muss auch
$_{x\rightarrow x_0}^{\lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ existieren.

Answer 1

[ChrisGE1267]

Die Aufgabe beschreibt die gleichmässige Konvergenz einer stetig differenzierbaren Funktionenfolge gegen eine stetig differenzierbare Grenzfunktion und die Vertauschbarkeit von Grenzwertbildung und Differentiation hierbei. Wenn ich mich recht entsinne, wird dies meist über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bewiesen…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 2

[Delta45]

Der Beweis stimmt offensichtlich nicht. Das kleiner kann nie stimmen im Fall x0=x

Da fehlen betragsstriche und 2 oder 3 epsilon oder so