Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen?
Hey, ich habe leider gar keine Ahnung, wie ich hier weiter kommen könnte.
Folgende Aufgabe:
Die Punkte O(0|0) und P(5|0) sowie Q(5|f(5)), R(u|f(u)) und S(0|f(0)) des Graphen von f mit f(x)=-0,05x³+x+4 (0 <= x <= 5) bilden ein Fünfeck (Fig. 1). Für welches u wird sein Flächeninhalt maximal?
Ich habe mit der Zielgröße beginnen wollen, die sich ja aus der Größe der beiden Trapeze zusammen setzt. Die Formel dafür ist 1/2(a+c)h aber wirklich weitergekommen bin ich damit leider auch nicht.
Ansonste fehlen mir auch noch die Hauptbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion und der Definitionsbereich. Die Extremstellenermittlung würde ich sicherlich alleine hinkriegen, wenn ich denn die schlussendliche Funktion zum Ableiten etc. hätte.
Würde mich über eine ausführliche Erklärung freuen, sodass ich es irgendwie nachvollziehen kann :)
Danke!
3 Antworten
Hallo,
im Grunde interessiert hier nur das Dreieck SQR, denn die Fläche darunter ist ein Trapez, dessen Maße gegeben sind.
Das bedeutet: Ist dieses Dreieck maximal, ist es auch das ganze Fünfeck.
Das Fläche des Dreiecks berechnet sich aus der halben Grundseite, also |PQ|/2, die sich nicht ändert, und der Höhe R, die von u abhängig ist.
Ist die Höhe, also der Abstand R zur Strecke PQ maximal, ist es auch die Dreiecksfläche und damit auch die Fünfecksfläche.
Wo ist der größte Abstand? Da, wo eine Tangente an die Kurve die gleiche Steigung hat wie die Gerade, die durch P und Q geht. Die ist aber leicht zu bestimmen:
y=mx+b. b ist der y-Achsenabschnitt, also 4, während m das Verhältnis vom vertikalen Abstand SQ zum horizontalen Abstand ist.
Vertikaler Abstand gleich 4-f(5)=4-2,75=1,25=5/4.
Horizontaler Abstand ist 5.
m=(5/4):5=1/4. Da die Gerade aber von links nach rechts fällt, gehört noch ein Minus vor 1/4. Daher ist m=-1/4 und die Geradengleichung lautet y=4-(1/4)x.
Die Tangente muß auch die Steigung -1/4 haben.
Du leitest also einfach die Funktion ab, setzt die Ableitung =-1/4 und löst nach x auf. Das ist dann der gesuchte Wert für u. Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt f(u). Der letzte Schritt ist aber unnötig, da ja nur nach dem u gesucht wird, für das der Flächeninhalt maximal wird. Nach der Größe der Fläche ist nicht gefragt, mit bekanntem u aber leicht zu ermitteln aus Trapez plus Dreieck.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Fläche besteht aus 2 Trapezen, also ist allg.:
A = ((a_1 + c_1) / 2) * h_1 + ((a_2 + c_2) / 2) * h_2
Berücksichtigt man die gegebenen Koordinaten und die gegebene Funktion, gilt:
A(u) = ((4 + f(u)) / 2) * u + ((f(u) + 2,75) / 2) * (5 - u) → Max.
mit f(u) = -0,05 * u³ + u + 4
Q (5│f(5))
f(5) = -0,05 * 5³ + 5 + 4 = -6,25 + 5 + 4 = 2,75
A hängt von u ab und kann - nach einsetzen von f(u) - direkt abgeleitet werden.
das ist der Ansatz
A(u) = ((4 + f(u)) / 2) * u + ((f(u) + 2,75) / 2) * (5 - u)
Nun musst du die beiden f(u) Teile durch -0,05x³+x+4 ersetzen . Du bekommst also ein Fkt vierten Grades mit u als Variabler .
Dann "normal" ableiten usw
Viel Schreibkram und man muss konzentriert sorgfältig sein
Das hab ich sogar tatsächlich schonmal versucht - noch bevor ich die Frage gestellt habe - aber dachte aufgrund des riesigen Aufwands, dass ich etwas falsch gemacht hätte...meine Lösung dabei war -0,025u⁴-0,125u³+0,5u²+6,5+3,125
Kam mir irgendwie nur sehr riesig vor...und später bei der Extremstellenermittlung ging irgendwie auch nichts mehr
Edit: Ach, moment! Ich hab damals ja den ursprünglichen Ansatz etwas anders gehabt - daher der Fehler...Ich versuche es nochmal😅
na ja , ich rechne das nicht nach , aber wenn ich mir das so anschaue ,sollte eigentlich was wegfallen und es sollte doch nur Grad 3 übrig sein . Dann ist f'(u) nur noch grad 2 und gut machbar
.
((4 + f(u)) / 2) * u + ((f(u) + 2,75) / 2) * (5 - u)
vor PLUS f(u) * u und hinten f(u) * -u
Könnte ich mit der Funktion A(u) dann direkt die Extremstellenermittlung beginnen?
Woher kommt die +2,75 ?