eine Basis von einem endlich-dimensionaler Vektorraum?
Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und sei n = dim(V ). Seien zudem v1, . . . , vn ∈ V . Nutzen Sie die Aussage um eine Basis von
zu finden
hat jemand eine Idee wie man das macht?
Gruß
2 Antworten
Du siehst ja, dass eine Basis eines Untervektorraums des
gesucht ist, also gilt
.
Außerdem erkennst du, dass die angegebene Gleichung eine Ebene beschreibt, was dir einen weiteren Hinweis zur Dimension von V liefert.
Praktisch kannst du jetzt folgendes tun:
Diese beiden Vektoren bilden dann eine gesuchte Basis.
Diese Methode funktioniert übrigens immer für derartige Aufgaben. Du führst Parameter ein und erhältst dann dementsprechend Gleichungen, die dir die Basisvektoren liefern.
Eine Basis sind Linearunabhängige Vektoren, die den gesamten Raum aufspannen. Der Raum ist durch die Gleichung da definiert. Die Dimension kann Maximal 3 sein da der Vektoraum in den R hoch 3 ist.
Ich würde jetzt einfach mal spontan 3 Linearunabhängige Vektoren suchen die Gleichung erfüllen. einer ist z.B (1,0,-2).
okok und wenn ich jetzt noch (3,2,0) nehme kann ich dann sagen, dass Eine Basis von V = {(0, 1, 3), (1, 0, -2), (3,2,0) }?
ne doch nicht die Dimension ist nur 2 der andere Kommentar hat das gut erklärt
Prinzipiell funktioniert aber auch euer Vorgehen. Wenn man euren dritten Vektor wegen linearer Abhängigkeit streicht, dann hat man auch eine Basis.
z.B (0, 1, 3)?