Berechne a so, dass die zueinander windschiefen Geraden g & h den gegeben Abstand besitzen?
Hallo,
ich bin gerade dabei, mich für den Schulstart vorzubereiten und den Stoff vom letzten Jahr noch einmal durchzugehen. Dabei bin ich über diese Aufgabe gestoßen und habe keine Ahnung wie ich diese angehen soll :/ .
Vielleicht kann mir ja einer von euch helfen.
Vielen dank schon einmal im voraus!
Berechne a so, dass die zueinander windschiefen Geraden g & h den gegeben Abstand besitzen!
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3 Antworten
Hallo,
Abstand r zweier Geraden (a/b/c)+s*(u/v/w) und (d/e/f)+t*(x/y/z) ist die Determinante der 3x3-Matrix aus den beiden Richtungsvektoren (u/v/w) und (x/y/z) sowie dem Differenzvektor aus den beiden Stützvektoren (d-a/e-b/f-c), geteilt durch den Betrag des Normalenvektors (u/v/w)x(x/y/z).
In Deinem Fall also |(3/4/a)(3/4/0)(1-2/2-1/-1-0)| geteilt durch |(3/4/a)x(3/4/0)|
Die Determinante lautet nach der Regel von Sarrus
3*4*(-1)+3*1*a+(-1)+4*0-[(-1)*4*a)+3*4*(-1)+3*1*0)=
-12+3a-(-4a-12)=7a.
Der Normalenvektor ist (4*0-4a/3a-3*0/3*4-3*4)=(-4a/3a/0).
Der Betrag ist die Wurzel aus [(-4a)²+(3a)²+0²]=Wurzel (25a²)=5a.
Der Abstand ist demnach (7a)/(5a), was für jedes a ungleich 0 7/5 ergibt.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Abstandsberechnung wie im ersten Absatz kannte ich noch nicht. Wieder was gelernt, danke!
Ich hatte mit dem Stützvektor (2/0/1) anstatt (2/1/0) gerechnet.
Mit (2/1/0) kommst Du auf d=2 unabhängig von a ungleich Null.
Im dreidimensionalen Vektorraum kannst Du den Rauminhalt eines Spats auf zwei unterschiedliche Arten berechnen. Einmal die aus der herkömmlichen Geometrie bekannten Formel Volumen gleich Grundfläche mal Höhe.
Die andere Methode ist das sogenannte Spatprodukt. Du bestimmst zunächst den Kreuzvektor der beiden Richtungsfaktoren und bildest dann das Vektorprodukt aus diesem Kreuzprodukt und dem Differenzvektor der beiden Stützvektoren.
Das Ergebnis ist eine Zahl, deren Betrag dem Rauminhalt des Spats entspricht, der von den beiden Richtungsvektoren und dem Differenzvektor aufgespannt wird. Da Vektoren beliebig im Raum verschoben werden dürfen, solange es sich um Parallelverschiebungen handelt, kannst Du sie am gleichen Ausgangspunkt anheften.
Die Grundfläche des Spats dagegen ist der Betrag des Kreuzprodukts.
Teilst Du daher das Spatprodukt durch den Betrag des Kreuzvektors, also das Volumen durch die Grundfläche, bekommst Du die Höhe - und die entspricht dem Abstand zwischen den beiden Geraden. Jeder der beiden Richtungsvektoren taucht ja sowohl am Boden als auch an der Decke des Spats auf.
Boden und Decke gehören nämlich zu zwei parallelen Ebenen, die dadurch entstehen, daß man den Richtungsvektor von Gerade 1 am Stützpunkt von Gerade 2 anheftet, um dann den Richtungsvektor von Gerade 2 am Stützpunkt von Gerade 1 anzuheften.
Die beiden Ebenen, die so aufgespannt werden, haben dann den Abstand der beiden windschiefen Geraden.
Da Boden und Deckel des Spats jeweils in einer der beiden Ebenen liegen, kann man den Abstand wie beschrieben über das Spatprodukt und das Kreuzprodukt berechnen.
Hesseform der Hilfsebene durch eine Gerade aufstellen (mit normiertem Normalenvektor als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, der enthält dann a)
Dann gleich dem vorgegebenen Abstand setzen und für x den Ortsvektor der anderen Geraden einsetzen.
Aber der normierte Normalenvektor ist doch nicht mehr von a abhängig.
Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ist (-4a, 3a, 0), der normierte Normalenvektor somit
⅕ (-4, 3, 0)
Wieso kann man einen (normierten) Normalenvektor zu zwei Gerade berechnen, wenn die eine nicht klar definiert ist. Denn so können wir ja schon den Abstand berechnen oder nicht... das kann doch nicht sein :(
Bei der ersten und zweiten Gerade ist der gemeinsame Normalenvektor unabhängig von a (a*0 = 0, man braucht also nur die Komponenten vertauschen und ein - setzen).
Damit müssen die beiden Geraden unabhängig von a den gleichen Abstand haben, da sie in zwei durch einen solchen Normalenvektor ausgerichteten parallelen Ebenen verlaufen.
So interpretiere ich es ja auch bzw. habe es. Ich habe auf Geogebra die beiden Geraden eingetippt und sehe, dass wenn sich a ändert, sich auch der Abstand ändert... wie kann das sein?
Vielleicht nur ein optischer Effekt wegen der 3-D Darstellung?
Dann muss es ein Eingabefehler sein (Programmfehler halte ich für unwahrscheinlich)
Willy hat in seiner Antwort auch raus, dass der Abstand konstant ist, und der hat wirklich Ahnung...
Ich auch. Aber leider eben nicht 7/5, sondern konstant 2 xD
Er hat mir sogar auch schon auf die selbe Frage ne Antwort geschrieben und mit seiner "Methode" erhalte ich auch 2. Warte jetzt noch auf ne Rückmeldung, denn irgendwas muss da ja dann schief gegangen sein.
Ich bin so verwirrt...
Tippfehler kann ich ausschließen (mehrmals neu eingetippt, mehrmals überprüft) und dass ich gefühlt als einziger jetzt ein anderes Ergebnis habe als alle anderen macht mich doch bekloppter... :/
Weißt Du, wie das geht - also könntest Du es einmal vorrechnen. Kannst das auch aufm Blatt machen, dann ist es weniger Arbeit und dann als Antwort bei meiner letzten Frage hochladen - aber eben nur wenn Du es weißt und willst. Würde mich freuen :)
Hab zumindest Willys Ansatz (gehe davon aus, dass das im ersten Absatz stimmt) durchgerechnet und keinen Fehler gefunden. Also auch Abstand 7/5 für alle a ungleich 0.
Das habe ich jetzt auch raus. Hatte den falschen Stützvektor genommen. Auf Geogebra aber nicht... ist auch egal.
Ich check das sowieso nicht so ganz mit Geogebra - vertraue da lieber euch.
Ich hab nochmal anders angesetzt: für a einfach mal 1 eingesetzt (ist ja beliebig) und dann über Hesseform Abstand von einem Punkt der zweiten zur Hilfsebene berechnet. Bekommen da auch 7/5 raus. Welt ist zumindest hier also in Ordnung...
Ja ich bin mir jetzt auch ganz sicher, dass für jedes a (sogar gleich Null) der Abstand immer kostant 7/5 ist.
Man schaue sich nur die beiden Richtungsvektoren (RV) der beiden Geraden g und h an.
RV_g = ( 3 , 4 , a )
RV_h = ( 3 , 4 , 0 )
Hier sieht man sofort, dass sie bis auf die z-Komponente identisch sind. Die z-Komponente ändert allerdings nichts am Abstand, da sich lediglich die Richtung des RV_g / Steigung der Gerade ändert.
Man sieht auch, dass der Abstand für a=0 gleich sein muss, da die beiden ja dann paralell verlaufen.
Ich glaube ich bin net so gut im erklären... lassen wirs lieber xD
wie ist denn der Abstand zweier windschiefer Geraden?
du solltest wohl eine Hilfsebene H definieren, die von g senkrecht durchstoßen wird... allerdings ist das für parallele Geraden... https://abiturma.de/mathe-lernen/geometrie/abstand/abstand-gerade-gerade
Ja mit einer Hilfseben berechne ich den Abstand zweier geraden!
Allerdings ist hier ja der Abstand vorgegeben ( d(g;h) = 7/5)
ja... bei parallelen Geraden... wie es bei windschiefen Geraden ist, weiß ich nicht...
du willst ja irgendwie das Minimum dieser 2D-Funktion in Abhängigkeit von a wissen: d_a(s,t)=|g(s)-h(t)| und dann min d_a(s,t)=7/5 nach a auflösen...
Dank ich werde es mal versuchen!
Bei Windschiefen geraden berechnet man auch den abstand mit einer Hilfsebene :D
https://abiturma.de/mathe-lernen/geometrie/abstand/abstand-windschiefer-geraden
könntest du das visualisieren. mir fällt es echt schwer vorzustellen. Vorallem wie ich die Vektoren in die Matrix eintage etc