Wurzel aus x^2 und (wurzel aus x)^2?

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5 Antworten

Es gilt √(x²) = |x|, da das eventuell negative Vorzeichen des Wertes von x durch das Quadrat schon "positiv gemacht" wird. Wenn du die Wurzel aus dem quadrierten x ziehst, bekommst du also gar nicht mit, welches Vorzeichen der Wert von x hatte, da du sowieso immer ein nichtnegatives Ergebnis erhältst.

Sei x = -2:

Dann gilt: √((-2)²) = √4 = 2 = |-2|

Wenn du das Ergebnis von √(x²) hast, musst du eine Fallunterscheidung durchführen, da x entweder negativ oder positiv ist. Für x hast du dann eben zwei Ergebnisse, ähnlich wie bei quadratischen Gleichungen.

(√x)² ist für negative x im Voraus schon nicht definiert, also ist sicher, dass unter der Wurzel eine nichtnegative Zahl steht.

Somit kannst du auch das Quadrat einfach unter die Wurzel ziehen:

√(x²) = (√x)² für alle x ∈ ℝ₀⁺

Der linke Teil der Gleichung ist zwar für alle reellen Zahlen definiert, aber da der rechte Teil eine eingeschränkte Definitionsmenge hat, hat auch die ganze Gleichung diese eingeschränkte Definitionsmenge. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

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Kommentar von cookinglove89
18.10.2016, 15:21

Danke das hat mir echt schon weitergeholfen ;) mal schaun ob ichs in der ex morgen kann ;D

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|x| = √(x²)
√(x)² = x

Bei positivem x (Beispiel 9): 

1) |9| = 9
2) √(9²) = √(81) = 9
3) √(9)² = √(9) * √(9) = 3*3 = 9

Bei negativem x (Beispiel -9):

1) |-9| = 9
2) √((-9)²) = √(81) = 9
3) √(-9)² = √(-9) * √(-9) = √(-1)*√(9)*√(-1)*√(9) = i * 3 * i * 3 = 9i² = -9

Beispiele sind zwar mathematisch keine Beweise, man kann sich aber allerhand daran verdeutlichen.
Für mich ist eine Veranschaulichung immer sehr wichtig.

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Kommentar von Willibergi
18.10.2016, 08:04

"√(-9)² = √(-9) * √(-9)"

Das ist nicht zulässig. Das zerlegen einer Wurzel in ein Produkt zweier anderer Wurzeln gilt nur für nichtnegative Radikanten.

√(ab) = √a√b für a,b ∈ ℝ₀⁺

Ein kurzes Beispiel, warum das nicht für alle x ∈ ℝ gilt;

1 = √1 = √((-1)²) = √-1√-1 = i * i = i² = -1

1 = -1

Das funktioniert zwar bei manchen Termen, führt aber auch oft zum Widerspruch. ;)

EDIT: Das Quadrat steht ja gar nicht in der Klammer, habe ich übersehen, sorry. ^^

LG Willibergi

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√(x²) ist etwas Anderes als (√x)²

Bei √(x²) gibt es immer (eine) Lösung(en). Bei x = 0 hast Du die Lösung 0. Bei x <> 0 gibt es zwei Lösungen: |x| und -|x|.

Bei (√x)² gibt es für x < 0 keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen, weil eine negative Wurzel nicht ziehbar ist. Für positive reelle Zahlen ist das Ergebnis immer positiv, nämlich x.

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Kommentar von Rubezahl2000
18.10.2016, 12:00

"Bei √(x²) gibt es immer (eine) Lösung(en). Bei x = 0 hast Du die Lösung 0. Bei x <> 0 gibt es zwei Lösungen: |x| und -|x|."

Das stimmt leider NICHT!
√(x²) ergibt IMMER nur 1 Lösung: IxI
Die Wurzel-Funktion liefert grundsätzlich KEINE negativen Werte!

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Mach dir klar:
x^2 ergibt immer eine positive Zahl, egal ob x negativ ist oder positiv.
Allerdings

Wurzel(x) ist nur für positive Zahlen definiert.

Wenn du Wurzel(x^2) betrachtest, dann muss also der innere Teil x^2 positiv sein.
Wie oben geschrieben ist er dies, allerdings sowohl für positives als auch für negatives x.

denn Wurzel((-5)^2)=Wurzel((5)^2)
Hast du also eine Gleichung
x^2=5^2
Dann ist  x=+-Wurzel(5^2)=+-5

Das heißt, nicht nur x=5 ist eine Lösung, sondern auch -5.

Merke: Wenn u irgendwo beim Gleichungsumstellen eine Wurzel ziehst, musst du meistens ein +- davorstellen.

Dann kriegst du beispielsweise sowas wie
x=2+-5
Was soviel heißt wie
Lösung 1: x=2+5=7 und
Lösung 2: x=2-5=-3

Nun zum Fall (Wurzel(x))^2
Hier kommen nur positive x als Lösung in Frage da die Wurzel einfach  nur für positive x definiert ist. (Genau genommen gilt das nur solange du mit reellen Zahlen rechnest, was jetzt hier aber unwichtig ist)

Dann ist die Wurzel ebenso positiv und das Quadrat davon auch.
Also: x muss positiv sein, und der gesamtausdruck ebenso.

von dahe braucht es hier keinerlei +-

Dass ihr den Betrag benutzt, hat auch seinen Sinn, denn
Betrag(x)=Wurzel(x^2) ist so ziemlich das selbe.

Positives x bleibt unverändert.
Negatives x wird durch das ^2 positiv und durch die Wurzel wieder auf den richtigen Wert gestutzt.

Wurzel((-2)^2)=Wurzel(4)=2
Wuzel(2^2)=Wurzel(4)=2

Wichtig ist immer dass du beim Wurzel ziehen aufpassen musst weil
x^2=5 sowohl eine positive als auch eine negative Lösung hat.
(Wenn du dir mal die Normalparabel anguckst, dann wirst du sehen dass
4=f(x)=x^2 2 Lösungen hat)

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Die aufgabe kann so eigentlich gar nicht da stehen, das sind immer gleichungen. Wenn es also wurzel aus x^2=-5 ist, dann ist halt x=-5 pder x=5 , und das schreibt man auch so. Man nimmt anstelle des "oders" dieses Zeichen"^" nur in größer. Die Aufgabe macht so keinen Sinn, da x jede beliebige Zahl sein kann, da überhaupt kein Ergebnis vorgegeben ist. Bei der 2. Aufgabe ist es genau dasselbe. Es gibt wieder keine Gleichung, ich geh mal wieder von (Wurzel aus x)^2 = 5 aus. Dann käme als Lösung x=5 raus. x=-5 funktioniert nicht, da man keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann.

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Kommentar von Willibergi
18.10.2016, 07:42

"Wenn es also wurzel aus x^2=-5 ist, dann ist halt x=-5 pder x=5"

Eine Gleichung wie √(x²) = -5 hat keine Lösung, da der Betrag einer Zahl immer positiv ist.

"Man nimmt anstelle des "oders" dieses Zeichen"^" nur in größer"

Als logisches Oder würde man das Zeichen ∨ verwenden. ∧ stünde für das logische Und und würde in dem Fall keinen Sinn ergeben.

LG Willibergi

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Kommentar von iamanewbie
18.10.2016, 07:50

Ja da hab ich mich zweimal vertan ;). Bei dem Zeichen für oder hast du natürlich recht, ich hatte aber nur diese Zeichen dabei und war mir nicht mehr sicher was und und was oder ist. Ja da hab ich mich auch vertan. Ich meinte natürlich Wurzel aus x^2= 5, ich wollte nur verdeutlichen ,dass x=-5 oder 5 sein kann, dabei bin ich wohl durcheinandergeraten. Gruß

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