Wurzel aus x^2 und (wurzel aus x)^2?
Wir haben momentan in mathe quadratwurzeln und rechnen auch damit. Wir müssen auch die Wurzel aus x^2 (also x quadrat) ziehen. Da ja minus und plus x rauskommen kann muss man |x| schreiben und dann schauen ob es minus oder plus ist. Aber ich versteh nich woher man weiß ob es positiv oder negativ sein muss. Und Ih hab noch eine frage und zwar: (wurzel aus x)^2 also man hat x in der Wurzel stehen und ne klammer drum rum und dann wird das Ergebnis quadriert. Ist es da immer so, dass man es einfach ohne klammer und ^2 abschreiben kann, da x dann doch immer positiv sein muss oder? Hoffentlich kann mir jemand helfen! LG
5 Antworten
Mach dir klar:
x^2 ergibt immer eine positive Zahl, egal ob x negativ ist oder positiv.
Allerdings
Wurzel(x) ist nur für positive Zahlen definiert.
Wenn du Wurzel(x^2) betrachtest, dann muss also der innere Teil x^2 positiv sein.
Wie oben geschrieben ist er dies, allerdings sowohl für positives als auch für negatives x.
denn Wurzel((-5)^2)=Wurzel((5)^2)
Hast du also eine Gleichung
x^2=5^2
Dann ist x=+-Wurzel(5^2)=+-5
Das heißt, nicht nur x=5 ist eine Lösung, sondern auch -5.
Merke: Wenn u irgendwo beim Gleichungsumstellen eine Wurzel ziehst, musst du meistens ein +- davorstellen.
Dann kriegst du beispielsweise sowas wie
x=2+-5
Was soviel heißt wie
Lösung 1: x=2+5=7 und
Lösung 2: x=2-5=-3
Nun zum Fall (Wurzel(x))^2
Hier kommen nur positive x als Lösung in Frage da die Wurzel einfach nur für positive x definiert ist. (Genau genommen gilt das nur solange du mit reellen Zahlen rechnest, was jetzt hier aber unwichtig ist)
Dann ist die Wurzel ebenso positiv und das Quadrat davon auch.
Also: x muss positiv sein, und der gesamtausdruck ebenso.
von dahe braucht es hier keinerlei +-
Dass ihr den Betrag benutzt, hat auch seinen Sinn, denn
Betrag(x)=Wurzel(x^2) ist so ziemlich das selbe.
Positives x bleibt unverändert.
Negatives x wird durch das ^2 positiv und durch die Wurzel wieder auf den richtigen Wert gestutzt.
Wurzel((-2)^2)=Wurzel(4)=2
Wuzel(2^2)=Wurzel(4)=2
Wichtig ist immer dass du beim Wurzel ziehen aufpassen musst weil
x^2=5 sowohl eine positive als auch eine negative Lösung hat.
(Wenn du dir mal die Normalparabel anguckst, dann wirst du sehen dass
4=f(x)=x^2 2 Lösungen hat)
|x| = √(x²)
√(x)² = x
Bei positivem x (Beispiel 9):
1) |9| = 9
2) √(9²) = √(81) = 9
3) √(9)² = √(9) * √(9) = 3*3 = 9
Bei negativem x (Beispiel -9):
1) |-9| = 9
2) √((-9)²) = √(81) = 9
3) √(-9)² = √(-9) * √(-9) = √(-1)*√(9)*√(-1)*√(9) = i * 3 * i * 3 = 9i² = -9
Beispiele sind zwar mathematisch keine Beweise, man kann sich aber allerhand daran verdeutlichen.
Für mich ist eine Veranschaulichung immer sehr wichtig.
Ich würde dir empfehlen, bei so einem Ausdruck (√-9)² zu schreiben, sonst ist nicht ganz klar, was unter/außerhalb der Wurzel steht. ^^
LG Willibergi
Wenn y = √-9 ist, was ist dann y²? Ich dachte, es wäre (√-9) * (√-9).
Dein Einwand bezieht sich auf eine andere Stelle. Deiner Meinung nach lässt sich √-9 nicht schreiben als √-1 * √-9.
Das ist aber genau die Vorgehensweise, die ich beim Aufstellen der Cardanischen Formeln kennengelernt habe. https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische\_Formeln
Aber auch bei der Lösung von Quadratischen Gleichungen wird so vorgegangen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische\_Gleichung#Fehlendes\_lineares\_Glied
x1,2 = +/- √-c/a
x1,2 = +/- i√c/a
Der fehlende Schritt kann hier nur sein
√(-c/a) = √(-1 * c/a) = √(-1) * √(c/a) = i√(c/a)
Wenn es eine falsche Vorgehensweise sein sollte, so bin ich jedenfalls nicht der erste, der so vorgeht.
Wo habe ich das denn geschrieben? Bin gerade verwirrt.
Ich hätte gedacht dort:
"√(-9)² = √(-9) * √(-9)"
Da das Quadrat sich in dem Fall aber offenbar auf die gesamte Wurzel bezieht, ist mein Kommentar hinfällig. ;)
LG Willibergi
Ich habe doch extra die Klammern genau so gesetzt, dass das Quadrat außerhalb der Wurzel steht. Den anderen Fall arbeite ich bei 2) ab.
Es gilt √(x²) = |x|, da das eventuell negative Vorzeichen des Wertes von x durch das Quadrat schon "positiv gemacht" wird. Wenn du die Wurzel aus dem quadrierten x ziehst, bekommst du also gar nicht mit, welches Vorzeichen der Wert von x hatte, da du sowieso immer ein nichtnegatives Ergebnis erhältst.
Sei x = -2:
Dann gilt: √((-2)²) = √4 = 2 = |-2|
Wenn du das Ergebnis von √(x²) hast, musst du eine Fallunterscheidung durchführen, da x entweder negativ oder positiv ist. Für x hast du dann eben zwei Ergebnisse, ähnlich wie bei quadratischen Gleichungen.
(√x)² ist für negative x im Voraus schon nicht definiert, also ist sicher, dass unter der Wurzel eine nichtnegative Zahl steht.
Somit kannst du auch das Quadrat einfach unter die Wurzel ziehen:
√(x²) = (√x)² für alle x ∈ ℝ₀⁺
Der linke Teil der Gleichung ist zwar für alle reellen Zahlen definiert, aber da der rechte Teil eine eingeschränkte Definitionsmenge hat, hat auch die ganze Gleichung diese eingeschränkte Definitionsmenge. ;)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :)
LG Willibergi
Danke das hat mir echt schon weitergeholfen ;) mal schaun ob ichs in der ex morgen kann ;D
(√x)² ist für negative x im Voraus schon nicht definiert, also ist sicher, dass unter der Wurzel eine nichtnegative Zahl steht.
Das ist völliger Blödsinn...
Die Quadratwurzel ist für negative Zahlen ebenfalls definiert...
Siehe auch "imaginäre Zahl" ( https://de.wikipedia.org/wiki/Imagin%C3%A4re_Zahl )
Und Du hältst es für förderlich, den Fragesteller bei einer solchen Frage gleich mit komplexen Zahlen zu überfallen? So so.
„Völliger Blödsinn“ ist es übrigens nicht, da es von der Grundmenge abhängt. Und das ist in der Schule bzw. mindestens bis zur gymnasialen Oberstufe eben höchstens IR.
Ich kann auch einem Grundschulkind bei Aufgaben der Kombinatorik schon den Binomialkoeffizienten empfehlen - ob das sinnvoll ist, ist dann wieder die andere Frage, Isendrak.
Da kann ich Willibergi nur beipflichten. Zunaechst einmal gilt der Satz:
Fuer jede reelle Zahl a>=0 existiert genau eine reelle Zahl w>=0 mit w^2 = a. w heisst die Quadratwurzel von a.
Das ist die elementare Definition der Quadratwurzel; a priori kann man also schon sagen, dass die Wurzel aus negativen Zahlen nicht definiert ist, solange man Analysis auf R betreibt.
Geht man von R auf C ueber, kann man die Definition erweitern, aber eben auch nur das; man nennt es zwar auch "Wurzel", aber es ist dann nicht mehr dasselbe Objekt! Beispielsweise verliert man die Gueltigkeit der bekannten Wurzelgesetze:
sqrt(-1) * sqrt(-1) = i * i = -1, aber
sqrt( (-1) * (-1) ) = sqrt(1) = 1
Ausserdem waere die Wurzel mit C als Definitionsgebiet nicht mehr stetig, waehrend sie auf den nichtnegativen reellen Zahlen sehr wohl stetig ist.
Ein bisschen Demut und Umsicht bei der Wortwahl waeren doch sicherlich nicht verkehrt...
Die aufgabe kann so eigentlich gar nicht da stehen, das sind immer gleichungen. Wenn es also wurzel aus x^2=-5 ist, dann ist halt x=-5 pder x=5 , und das schreibt man auch so. Man nimmt anstelle des "oders" dieses Zeichen"^" nur in größer. Die Aufgabe macht so keinen Sinn, da x jede beliebige Zahl sein kann, da überhaupt kein Ergebnis vorgegeben ist. Bei der 2. Aufgabe ist es genau dasselbe. Es gibt wieder keine Gleichung, ich geh mal wieder von (Wurzel aus x)^2 = 5 aus. Dann käme als Lösung x=5 raus. x=-5 funktioniert nicht, da man keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann.
"Wenn es also wurzel aus x^2=-5 ist, dann ist halt x=-5 pder x=5"
Eine Gleichung wie √(x²) = -5 hat keine Lösung, da der Betrag einer Zahl immer positiv ist.
"Man nimmt anstelle des "oders" dieses Zeichen"^" nur in größer"
Als logisches Oder würde man das Zeichen ∨ verwenden. ∧ stünde für das logische Und und würde in dem Fall keinen Sinn ergeben.
LG Willibergi
Ja da hab ich mich zweimal vertan ;). Bei dem Zeichen für oder hast du natürlich recht, ich hatte aber nur diese Zeichen dabei und war mir nicht mehr sicher was und und was oder ist. Ja da hab ich mich auch vertan. Ich meinte natürlich Wurzel aus x^2= 5, ich wollte nur verdeutlichen ,dass x=-5 oder 5 sein kann, dabei bin ich wohl durcheinandergeraten. Gruß
√(x²) ist etwas Anderes als (√x)²
Bei √(x²) gibt es immer (eine) Lösung(en). Bei x = 0 hast Du die Lösung 0. Bei x <> 0 gibt es zwei Lösungen: |x| und -|x|.
Bei (√x)² gibt es für x < 0 keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen, weil eine negative Wurzel nicht ziehbar ist. Für positive reelle Zahlen ist das Ergebnis immer positiv, nämlich x.
"Bei √(x²) gibt es immer (eine) Lösung(en). Bei x = 0 hast Du die Lösung 0. Bei x <> 0 gibt es zwei Lösungen: |x| und -|x|."
Das stimmt leider NICHT!
√(x²) ergibt IMMER nur 1 Lösung: IxI
Die Wurzel-Funktion liefert grundsätzlich KEINE negativen Werte!
"???" Sehr aussagekräftiger Kommentar ;-)
Glaubst du es nicht? Oder verstehst du es nicht?
@Rubezahl2000
Wenn wir folgendes sagen:
a² = x²
Es ist trivial, dass es für x ≠ 0 zwei Lösungen für a geben muss.
Die Betragsfunktion ordnet (abgesehen von der Null) immer zwei Zahlen eine Zahl zu (für x = -2 oder x = 2 ist |x| = 2).
Es gilt also: a = -|x| ∨ a = |x|
a hat somit für x ≠ 0 immer zwei Lösungen.
BiggerMama lag also gar nicht falsch.
LG Willibergi
"√(-9)² = √(-9) * √(-9)"
Das ist nicht zulässig. Das zerlegen einer Wurzel in ein Produkt zweier anderer Wurzeln gilt nur für nichtnegative Radikanten.
√(ab) = √a√b für a,b ∈ ℝ₀⁺
Ein kurzes Beispiel, warum das nicht für alle x ∈ ℝ gilt;
1 = √1 = √((-1)²) = √-1√-1 = i * i = i² = -1
1 = -1
Das funktioniert zwar bei manchen Termen, führt aber auch oft zum Widerspruch. ;)
EDIT: Das Quadrat steht ja gar nicht in der Klammer, habe ich übersehen, sorry. ^^
LG Willibergi