Wie stelle ich eine Differentialgleichung auf?
Zum beispiel wenn die aufgabe ist: stellen sie die differenzialgleichung der ungedämpften harmonischen schwingung auf.
Dann ist ja
Y= ŷ*sin (ωt)
Y'=ŷ*ω*cos(ωt) und
Y"=ŷ*ω²*(-sin(ωt))
Weil die 2. Ableitung proportional zur grundfunktion sein muss. Aber woher weiß ich, wann y' und wann y" proportional zu y sein muss? Wie gehe ich weiter vor? Also wa smache ich generell?
3 Antworten
F = m*a
Die Kraft ist proportinal zur (negativen) Auslenkung s und a ist die zweite Ableitung von s.
Die DGL der ungedämpften harmonischen Schwingung lautet:
x''(t) + D/m * x(t) = 0
mit der Lösung :
x(t) = x0 * cos(ωt) mit ω = √(D/m) und x0 = x(0)
Beweis:
x'(t) = -ω*x0*sin(ωt)
x''(t) = -ω²*x0*cos(ωt)
In die DGL einsetzen:
-ω²*x0*cos(ωt) + D/m * x0*cos(ωt)
wegen ω = √(D/m) folgt:
-D/m * x0*cos(ωt) + D/m * x0*cos(ωt) = 0