Federschwinger - Dämpfungskonstante berechnen?
Ein gedämpfter Federschwinger mit m=2 kg ist zur Zeit t=0 um 3 cm aus der Ruhelage ausgelenkt. Die Federkonstante beträgt 400 N/m.
a) Bestimmen sie die Schwingungsdauer für den Falle einer ungedämpften Schwingung sowie die Gesamtenergie der Schwingung.
b) Bestimmen sie die Dämpfungskonstante b für den Fall, dass die Energie während jeder Periode um 1% abnimmt.
y(t) = y_max * (e^-d* t) * cos(w*t)
d soll eine Dämpfungskonstante sein, gleichzeitig steht im Buch ..
d = b / 2m
b soll ebenfalls eine Dämpfungskonstante sein..?
Da y_max konstant ist, und der cos die Schwingung beschreibt, dachte ich Folgendes:
e^-dt = 0,99
Denn 99% der Amplitude bleibt erhalten
Ich weiß nur nicht, was ich für t einsetzen soll
wenn t=1
d = ln(0,99)
b/ 2m = ln(0,99)
b = 0,0406
Kann man das so rechnen?
1 Antwort
Bestimmen sie die Schwingungsdauer für den Falle einer ungedämpften Schwingung sowie die Gesamtenergie der Schwingung.
Die Gesamtenergie ist leicht auszurechnen; hierfür benötigst Du nur D=400N/m und y_{max}=3×10⁻²m, beides Größen, die Du hast, und wendest die Formel
(1) E_pot(t) = ½Dy²(t)
auf t=0 an, unter Ausnutzung von y(t=0)=y_{max}. Die gesamte Energie ist nämlich gleich der potentiellen Energie zu diesem Zeitpunkt, denn in Bewegung ist ja noch nix. Mit
(2) ω = 2π/T = √{D/m} <=> T = 2π/√{D/m}
kannst Du auch noch die Periodendauer der ungedämpften Schwingung berechnen. Im Folgenden ändere ich d in δ, auch in Zitaten, weil ich die Dämpfungskonstante üblicherweise so geschrieben kenne:
e^{-δt} = 0,99
schon mal ein guter Ansatz, natürlich mit dem richtigen t.
Ich weiß nur nicht, was ich für t einsetzen soll
T natürlich! Schließlich soll die Abnahme der Amplitude binnen 1 Periode erfolgen, und deren Dauer ist durch (2) gegeben.
wenn t=1
t ist eine Zeit, und δ hat folglich wie ω die Dimension einer inversen Zeit.
δ = ln(0,99)
Nicht δ, sondern δ∙T = 2πδ/√{D/m}. Daraus kannst Du dann auch leicht b (im Buch vielleicht β?) berechnen.
Also ich rechne gerade nochmal alle Aufgaben durch und hab auch hier ne Frage..
Hab jetzt für die Energie
E_pot(t) = ½Dy²(t)
E_pot(t) = ½ * 400 0,03² * cos²14,14 * t
Wobei omega = 14,14
= 0,18 J
Die Zahl ist sehr klein, daher frage ich nochmal nach ob es richtig ist..
Für die Dämpfungskonstante delta hab ich:
e^-0,44* delta = 0,99
Wobei T = 0,44
=> delta = 0,02
delta = b/ 2m
b = 0,09
Ist das richtig?
Ich habe mir die Aufgabe ja nochmal angeschaut und da steht noch:
Berechnen Sie den Energiebetrag, der im Zeitintervall (0;2) in Wärme umgewandelt wird.
Ich würde die Energie mit der Auslenkung:
y(t) = y_max * (e^-d* t) * cos(w*t)
berechnen mit t = 2T
und den Wert minus der Gesamtenergie von 0,18J berechnen.
Mit einem »Zeitintervall (0,2)« kann ich nichts anfangen. Zeit ist nicht dimensionslos, und es ist unklar, ob 2 Sekunden oder 2T gemeint ist.
Den brauchst du nicht. Du hast die Information, dass in einer Schwingungsperiode die Amplitude um 1% abnimmt. Da 2T gemeint ist, also die doppelte Schwingungsdauer und nicht eine bestimmte Zeit, brauchst Du nur noch
ΔE = E₀(1 – (0,99)⁴)
zu rechnen, das erste Quadrat wegen der 2 Perioden und das zweite, weil die Energie zum Quadrat der Amplitude proportional ist.
Ach ja, natürlich ist
E₀ = ½Dy&x2080; = 1,8×10¯¹J,
die Energie, die Du anfänglich hineingesteckt hast.
1. y&x2080; → y₀
y&x2080 ---> was soll das heißen :D
2.ΔE = E₀(1 – (0,99)⁴)
zu rechnen, das erste Quadrat wegen der 2 Perioden und das zweite,
weil die Energie zum Quadrat der Amplitude proportional ist.
Ich hab das noch nicht ganz verstanden.. Wieso spielt jetzt "plötzlich" die Amplitude eine Rolle?
- Ich wollte »y₀« schreiben, was die App zu »y₀« macht (in Chromium kann man es mit SRTG+C rauskopieren und mit U+STRG+V wieder einfügen), und hatte ein »#« vergessen. Das »…→…« ist im Sinne von z.B. »Dreckfohler→Druckfehler« gemeint.
- Die Amplitude - nicht spielt eine aber die momentane Auslenkung - spielt eine Rolle, weil Du die Energie berechnen willst, die in Wärme verbratzt wird, und das hängt von der Maximalenergie E₀ und damit natürlich auch der Amplitude ab. Aber sorry, es muss doch nur »(1 – (0,99)²)« heißen, denn oben steht ja »für den Fall, dass die Energie während jeder Periode um 1% abnimmt.« Ich hatte »Amplitude« in Erinnerung und kann das in der App leider nicht nachgucken, ohne aus der Eingabe rauszugehen.
Wenn schon, dann b = 0,0406kg/s - falls dieses m in "δ = b/2m" überhaupt eine Masse sein sollte. Die Maßeinheiten müssen so beschaffen sein, dass δt dimensionslos wird, deshalb ist auch [δ] = 1/s.