Physikaufgabe: Dämpfungskonstante und Eigenfrequenz berechnen; habe ich das richtig gemacht?
Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen, ich habe diese Aufgabe un fürchte sie ist falsch berechnet. Und das macht mir für das morgige Testat echt sorgen, kann mal jemand bitte drüber schauen und mir ggf. meine Fehler aufzeigen und zeigen wie es richtig geht.
Bei einer gedämpften Schwingung verringert sich die Amplitude zwischen zwei aufeinander folgenden Auslenkungen nach der gleichen Seite um 60 %. Die Periodendauer beträgt 0,5 s. Wie groß sind Dämpfungskonstante sowie die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems?
Die Lösung sei 1,8333s^-1 (Dämpfungskonstante) 2,02 Hz (Eigenfrequenz)
ich habe jetzt die Strecke der Schwingung in s1 = 10 (cm o.ä) un s2 = 4 (cm) eingeteilt
s2 = 1s1 * e^-delta*t * sin (w(+q0) Also ie Auslenkung der Funktion mal die Periodendauer er sin-funktion
Rechnung: s2 = s1 * e^-deltat Is1 s2/s1 = e^-deltat ILn (logarithmus anwenden) ln(s2/s1) = delta * t I:(-t) ln(s2/s1) * 1/t = Delta ln(4/10) * 1/0,5s = delta
Delta = 1,83333 s^-1
Eigenfrequenz: 1/t 1/0,5 s f=2 Hz
Wäre echt klasse wenn sich jemand meiner erbarmt; danke.
Liebe Grüße, Tea
Edit: Hier noch mal in schön leserlich: http://www.hausaufgaben-forum.net/threads/13354-D%C3%A4mpfungskonstante-und-Eigenfrequenz-berechnen-so-richtig?p=41720#post41720
2 Antworten
Soweit stimmt m.E. Dein Lösungsweg:
Unter der Annahme, dass die Amplitude ŷ nach einer vollen Periode um 60% abnimmt bzw. nur noch 40% vom Anfangswert beträgt gilt:
t = T = 0,5s, y(t)/ŷ = 0,4, y(t) = ŷ ∙ e^-(δ∙t) → 0,4= e^-(δ∙t)
ln 0,4 = - δ∙t → - δ = ln 0,4 / 0,5s ≈ - 1,833/s
δ = 1,833/s
Die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung ist jedoch etwas größer als die der (stark) gedämpften.
LG
Berichtigung!
ωₒ = √ (ω² + δ²) = √( 2π ∙ 2/s)² + (1,833/s)²) ≈ 12,7 rad/s
fₒ = ωₒ / 2π ≈ 2,02 Hz
Das ist ein Schwingungssystem mit zeitlich abnehmender Amplitude.
Formel für die Amplitude y= e^(-a *t) * k hier ist a die Dämpfungskonstante und k ebenfalls eine Konstante
y1= e^(- a *t0 *k und y2= e^(- a *t2) *K mit y2= y1 * 0,6
y1 / y1 *0,6 = e^(-a *to *K / e^(-a *t2) * k
1/0,6 = e^(-a * t0) * K / e^-a *t2) * K= e^(-a *to - (-a * t2) =e^(a * t2)
ln(1/0,6) = a *t2 mit to=0 und t2=0,5 s
a=ln(1/0,6) /0,5 =1,02165
Formel für die Eigenfrequenz w= wo * (1 - d^2 )^0,5 hier ist d der Dämpfungsgrad d= a/wo
w= wo * (1 - a^2 /wo^2 ) ^0,5 ergibt w^2=wo^2 * (1 - a^2/wo^2 )=wo^2 - a^2
wo^2=w^2 + a^2 ergibt wo=(w^2 + a^2)^0,5
w= 2 *pie / 0,5 s=12,566 rad /s
wo=(12,566^2 + 1,02165^2 )^0,5=12,6078 rad/s (Winkelgeschwindigkeit oder auch Kreisfrequenz genannt)
Probe y1= e^(- 1,0216 * 0) * 10 = 10 nun y2 = e^(- 1,0126 * 0,5 s) * 10=6,0
Ich habe hier K= 10 gewählt um zu prüfen ob auch y2= y1 *0,6 ist.
ω = √(ωₒ² - δ²) ≈ 12,43 rad/s → fₒ= ωₒ / 2π ≈ 1,98 Hz