Wie löst man diese Extremwertaufgabe?

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

zwei Rechtecke lassen sich dírekt berechnen, nämlich eins rechts vom Riß, eins darunter. Das rechts vom Riß hat 40*100 cm², also 4000 cm², das darunter nur 40*60 cm², also 2400. Das kommt schon mal nicht in Frage.

Zu überlegen ist, ob noch mehr als 4000 cm² möglich sind. Wenn man also von irgendeinem Punkt auf dem Riß zwei gerade Schnitte macht: Einen nach rechts, einen nach unten. Könnte das ein noch größeres Rechteck ergeben?

Das gilt dann natürlich nur für x-Werte zwischen 0 und 20, bei über 20 befindet man sich außerhalb des Risses - und da ist natürlich 40*100 das größtmögliche Flächenstück.

Die Nebenbedingung ergibt sich aus der Höhe von unten bis zum Riß in Abhängigkeit von der Entfernung zum linken Rand, von x.

Der Riß ist Teil einer Geraden mit der Funktionsgleichung y=3x+40, denn auf 20 cm in waagerechter Richtung werden 60 cm in senkrechter Richtung, also das Dreifache gewonnen; außerdem geht der Riß bei 40 durch die y-Achse (linker Rand der Scheibe, die x-Achse ist der untere Rand).

Zwischen x=0 und x=20 gilt für ein ausgeschnittenes Rechteck:

Fläche F=(60-x)*(3x+40).

Die Ableitung davon lautet F'(x)=140-6x.

Ein Maximum wäre da, wo die Ableitung gleich Null wird (da die Flächenfunktion eine nach unten geöffnete Parabel ist, kann der Extremwert nur der Scheitelpunkt und damit das Maximum sein).

140-6x=0; 6x=140; x=70/3.

70/3 ist aber größer als 20, daher ist dieses Maximum nicht zu gebrauchen, denn ab x=20 ist der Riß gar nicht mehr vorhanden.

Die Frage ist, was passiert mit der Fläche zwischen x=0 und x=20?

Für x=0 ist die Ableitung positiv, die Flächenfunktion steigt also.

Da die Parabel bis zum Maximum weiter ansteigt, kann der Höchstwert nur bei x=20 liegen, also da, wo der Riß zu Ende ist.

Es ist also das Beste, ein Flächenstück von 40*100 cm² auszuschneiden.

Wenn man will, kann man aus dem Rest noch ein Stück von 20*40 cm² ausschneiden, was ja auch zu schade zum Wegwerfen wäre.

Aus dem restlichen Dreieck läßt sich bestimmt auch noch etwas machen.

Herzliche Grüße,

Willy