Wie kann ich das lösen?

Hallo

ich benötige Hilfe bei diesem Beispiel zu Ableitungen, da ich nicht genau verstehe, wie das funktioniert.

Zusätzliche Fragen:

Wann wendet man die Quotientenregel an? Müssen der Zähler und der Nenner von der gesuchten Variablen, nach der abgeleitet werden soll, abhängig sein?

Wann kann man den ln aufspalten, sodass man beispielsweise die Konstante streichen kann?

Danke im Voraus!

Answer 1

[verreisterNutzer]

Das "y = ..." ist eine komplett unspezifische Schreibweise, da offenbleibt, was eigentlich die Variable sein soll. y könnte y = f(k) sein, y könnte auch ein f(s) sein oder - je nach Mathematik-Niveau - könnte es auch eine f(s,k) sein.

Also worum geht es hier genau?

Ich fasse es mal als Abbildung ℝ² → ℝ auf und bestimme die partiellen Ableitungen.

Ableitung nach k: $\frac{\partial}{\partial k}\left(\frac{s}{\ln\left(sk\right)}+k\right)=s\cdot\frac{\partial}{\partial k}\frac{1}{\ln\left(ks\right)}+\frac{\partial}{\partial k}k\ =-\ s\cdot\frac{\frac{\partial}{\partial k}\ln\left(sk\right)}{\left(\ln\left(sk\right)\right)^2}+1\ =$ $-\frac{s\ \cdot\frac{1}{sk}\cdot s}{\left(\ln\left(sk\right)\right)^2}+1\ =\ -\frac{s}{k\cdot\left(\ln\left(sk\right)\right)^2}+1$

Ableitung nach s: $\frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{s}{\ln\left(sk\right)}+k\right)=\frac{1\cdot\ln\left(sk\right)-s\cdot\frac{\partial}{\partial s}\ln\left(sk\right)}{\left(\ln\left(sk\right)\right)^2}=\frac{\ln\left(sk\right)-\frac{s}{sk}\cdot k}{\left(\ln\left(sk\right)\right)^2}=$ $\frac{\ln\left(sk\right)-1}{\left(\ln\left(sk\right)\right)^2}$

Answer 2

[Halbrecht]

auch bei 1/(ln(ks)) könnte man die QR anwenden
ist aber viel zu viel zu tun , weil man umschreiben kann zu
(ln(ks))^-1

.

Umschreiben um k verschwinden zu lassen ? Wäre nur möglich , wenn sich der Bruch kürzen ließe

Answer 3

[Rammstein53]

$f\left(k,s\right)\ =\ \frac{s}{\ln\left(k\cdot s\right)}\ +\ k\ =\ \frac{s}{\ln\left(k\right)+\ln\left(s\right)}\ +\ k\ =\ s\cdot\left(\ln\left(k\right)+\ln\left(s\right)\right)^{-1}\ +\ k$

Damit können die Ableitungen über die Produkt- und Kettenregel ermittelt werden:

f(k,s) ableiten nach k (s wird wie eine Konstante behandelt):

$\frac{d}{dk}\ f\left(k,s\right)\ =\ -\ \frac{s}{k\cdot\left(\ln\left(k\right)+\ln\left(s\right)\right)^2}\ +\ 1$

f(k,s) ableiten nach s (k wird wie eine Konstante behandelt):

$\frac{d}{ds\ }f\left(k,s\right)\ =\ \frac{1}{\ln\left(k\right)\ +\ \ln\left(s\right)}\ -\ \frac{1}{\left(\ln\left(k\right)+\ln\left(s\right)\right)^2}$

Answer 4

[plankton986]

Müssen der Zähler und der Nenner von der gesuchten Variablen, nach der abgeleitet werden soll, abhängig sein?

Nein, der Bruch könnte sogar von gar keiner variablen abhängig sein