Wie errechnet man das?
Susanne will mit 6m Maschendraht an einer Wand einen rechteckigen Stall für ihr Kaninchen bauen. Wie lang müssen die Seiten des Stalls werden, damit die abgegrenzte Fläche möglichst groß wird?
LG Rieke
4 Antworten
Das Rechteck mit der größten Fläche ist das Quadrat. Eine einfache Überlegung zeigt, je länger und schmäler ein Rechteck ist, desto kleiner die Fläche. Im Extremfall bei Breite Null ist es nur noch eine Linie ohne Fläche.
Eine Seite ist durch die Wand gegeben, also ergeben die 6 Meter Zaun drei Seiten von je zwei Metern.
Hi,
da die eine Seite eine Wand ist, haben wir nur 3 Seiten des Rechtecks mit Draht.
U = L + 2 * B
6 = L + 2 *B
2*B = 6 – L
B = y
L = x
LG,
Heni
Zielfunktion Fläche A:
A = a * b
Nebenbedingung:
a + 2b = 10 (a ist die Seite parallel zur Wand)
a = 10 - 2b
Eingesetzt in die Zielfunktion:
A = 10b - 2b^2
Bedingung:
A = maximal, also A' = 0
A ' = 10 - 4b = 0
4b = 10
b = 2,5 m
Eingesetzt in a = 10 - 2b:
a = 10 - 2 * 2,5 = 5 m
Und damit:
A = 2,5 m * 5 m = 12,5 m^2
Folgender Gedankengang:
A = x*y (Fläche)
x+y = 6m -> y = 6 - x
einsetzen
A = x * (6 - x) = 6x - x²
f(x) = 6x - x²
Das Maximum dieser Funktion ist der gewünschte Wert. Du mußt also den Scheitelpunkt der Funktion errechnen.
So einfach ist das mit der Wand nicht. Man könnte aber in Gedanken die Wand weglassen und dahinter einen zweiten Stall bauen. (Den Stall praktisch an der Wand spiegeln.)
Dann hat man 12 Meter Maschendraht und ein Quadrat mit 3 m Kantenlänge.
Wenn man jetzt die Wand wieder aufbaut, hat man (je Stall) ein Rechteck 1,5 m * 3 m. (Das ist größer als 2 m * 2 m.)