Mathe?
Tom möchte für sein Kaninchen im Garten ein Gehege mit
rechteckiger Grundfläche an eine Wand bauen. Im Keller hat
er eine Rolle mit 20m Maschendraht gefunden.
Bestimme, welche Länge und Breite er wählen muss, damit
die Grundfläche möglichst groß wird.
Habe bei x=9
ist es richtig bin voll verwirrt
7 Antworten
I.) x + 2 * y = 20
II.) x * y = A
Dieses Gleichungssystem lösen :
I.) x = 20 - 2 * y
II.) (20 - 2 * y) * y = A
II.) - 2 * y ^ 2 + 20 * y - A = 0
II.) y ^ 2 - 10 * y + (1 / 2) * A = 0
y_1 = 5 - √(25 - (1 / 2) * A)
y_2 = 5 + √(25 - (1 / 2) * A)
An 25 - (1 / 2) * A kann man erkennen, dass A maximal 50 sein kann, weil bei A > 50 der Ausdruck unter der Wurzel negativ wird.
Das bedeutet :
A_max = 50 m²
y = 5
x = 20 - 2 * 5 = 10
x ist die Seite des Zaunes, die der Wand gegenüberliegt.
y sind die Seiten die vertikal zur Wand verlaufen, davon gibt es zwei Seiten.
Würde mich nicht wundern, wenn es sogar noch einfacher geht.
Ich neige dazu bei Aufgaben die ich nicht so oft rechne zu kompliziert zu denken.
In der Regel kennt man in der Schule schon ein Verfahren, wie man das löst (entweder Ableitung oder Scheitelpunktform).
Also:
Zu maximieren ist A = a * b
unter der Nebenbedingung 20 = 2a + b.
D. h. es ist b = 20 - 2a und wir haben A in Abhängigkeit von a
A(a) = a (20 - 2a) = -2a^2 + 20a.
Das ist eine quadratische Funktion, deren Graph eine (nach unten geöffnete wegen -2) Parabel ist.
Jetzt kann ich entweder den Scheitelpunkt bestimmen:
-2a^2 + 20 a = -2 ( a^2 - 10a) = -2 (a^2 - 10 a + 25 - 25) = -2 ((a-5)^2 - 25)
= -2 (a-5)^2 +50
Und kann dann aus der Scheitelpunktform ablesen, dass der Scheitelpunkt (also das Maximum, weil die Parabel ja nach unten geöffnet ist) bei a = 5, A = 50 liegt.
Oder ich kann A(a) ableiten und die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:
A'(a) = -4a + 20, also
-4a + 20 = 0 <=> -4a = -20 <=> a = 5.
Kommt natürlich dasselbe bei heraus.
Ja, vielen Dank für deinen Kommentar !
Schön an der Aufgabe finde ich, dass es einen Rechenweg ohne Differentialrechnung und einen Rechenweg mit Differentialrechnung gibt.
Das finde ich auch, da hast du recht. Ich finde solche Betrachtungen wie deine, bei denen man ja ein wenig verstehen lernt, was da eigentlich passiert, auch sinnvoll.
Wenn a und b die Seitenlängen des Rechtecks sind, und b die Seite parallel zur Wand ist, dann ist die Länge des Zauns 2a + b = 20.
Die Fläche a * b soll maximal werden. Dann ist auch 2a * b maximal.
Wenn die Summe zweier Zahlen (hier 2a und b) vorgegeben ist und das Produkt maximal werden soll, dann sind die beiden Zahlen gleich, also 2a = b.
Sieht stark nach einer Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung aus:
Zielfunktion A = a*b soll maximal werden.
Nebenbedingung 2a + b = 20
Der Zaun hat die Länge l = 20m.
Ein Rechteck hat die Kantenlängen a und b, von jeder Kante gibt es zwei. Wenn Du ein Gehege bauen willst, das an eine Wand angrenzt, musst du mit dem Zaun nur noch drei davon bauen, eine Kante ist durch die Wand ersetzt. Ich setze das jetzt so: Die beiden Kanten links und rechts, die ich mit dem Zaun mache, haben den Länge a, die Kante gegenüber der Wand habe die Länge b.
Mach dir eine Skizze, ok?
Wie kann ich jetzt die Länge des Zauns in Abhängigkeit von a und b schreiben? Dazu addiere ich die Längen der drei Kanten, die nicht durch die Wand erledigt sind:
20 m = ... + .... + ....
So weit klar?
Das Quadrat hat von allen Rechtecken mit gleichem Umfang
die größte Fläche.
Wie hast du denn gerechnet?
Hier ist die Lösung "ein halbes Quadrat", da die Wand mitbenutzt wird.
Komplexere Aufgabe als gedacht.